Подробное решение с пошаговыми объяснениями и формулами
При делении 8 на 37 остатки повторяются: 8 → 6 → 23 → 8 → …, значит деление не заканчивается и десятичная запись будет периодической.
\nПервые цифры частного получаются так:
\nЦифры 2, 1, 6 повторяются, поэтому
\n8/37 = 0,(216).
", "latex": "При\\ делении\\ \\frac{8}{37}:\\quad 80=2\\cdot 37+6,\\; 60=1\\cdot 37+23,\\; 230=6\\cdot 37+8.\\\\\nОстаток\\ снова\\ 8,\\ значит\\ цикл\\ повторяется\\ и\\ цифры\\ 216\\ идут\\ периодом.\\\\\n\\boxed{\\frac{8}{37}=0,(216)}", "steps": [ "Делим 8 на 37 в столбик, приписывая нули к остаткам.", "Получаем остатки: 8 → 6 → 23 → 8, значит остатки повторяются.", "Цифры частного при этих шагах: 2, затем 1, затем 6.", "Следовательно, десятичная дробь периодическая: 0,(216)." ] }, "detailed": { "html": "Найдём десятичную запись дроби 8/37 делением в столбик. Так как 8 < 37, целая часть равна 0, дальше работаем с остатками, каждый раз приписывая к остатку 0 (то есть умножая остаток на 10).
\nПервый шаг. Остаток 8. Приписываем 0: получаем 80.
\n80 : 37 = 2, потому что 2·37 = 74, а 3·37 = 111 > 80.
\nОстаток: 80 − 74 = 6. Первая цифра после запятой: 2.
Второй шаг. Остаток 6. Приписываем 0: 60.
\n60 : 37 = 1 (1·37 = 37, 2·37 = 74 > 60).
\nОстаток: 60 − 37 = 23. Вторая цифра: 1.
Третий шаг. Остаток 23. Приписываем 0: 230.
\n230 : 37 = 6 (6·37 = 222, 7·37 = 259 > 230).
\nОстаток: 230 − 222 = 8. Третья цифра: 6.
Мы снова получили остаток 8, то есть вернулись в исходное состояние. Значит, дальше будут повторяться те же действия и те же цифры: 2, 1, 6, 2, 1, 6, …
\nСледовательно, дробь является бесконечной периодической десятичной дробью с периодом 216:
\n8/37 = 0,216216216… = 0,(216).
", "latex": "Так\\ как\\ 8<37,\\ целая\\ часть\\ равна\\ 0.\\ Делим\\ с\\ приписыванием\\ нулей\\ к\\ остаткам.\\\\[4pt]\n1)\\ \\ 80:37=2,\\quad 80=2\\cdot 37+6\\Rightarrow r_1=6.\\\\\n2)\\ \\ 60:37=1,\\quad 60=1\\cdot 37+23\\Rightarrow r_2=23.\\\\\n3)\\ \\ 230:37=6,\\quad 230=6\\cdot 37+8\\Rightarrow r_3=8.\\\\[4pt]\nПолучили\\ остаток\\ 8\\ снова,\\ значит\\ остатки\\ (а\\ значит\\ и\\ цифры\\ частного)\\ повторяются\\ с\\ периодом\\ 3:\\ 2,1,6.\\\\[4pt]\n\\boxed{\\frac{8}{37}=0,216216\\ldots=0,(216)}", "steps": [ "Так как 8 < 37, целая часть частного равна 0.", "Умножаем остаток 8 на 10: 80 : 37 = 2, остаток 6.", "Умножаем остаток 6 на 10: 60 : 37 = 1, остаток 23.", "Умножаем остаток 23 на 10: 230 : 37 = 6, остаток 8.", "Остаток снова 8, значит процесс повторяется и цифры 216 идут периодом.", "Ответ: 8/37 = 0,(216)." ] }, "parent_guide": { "html": "Идея для объяснения ребёнку: при делении дроби в десятичную запись мы каждый раз «спускаем ноль», то есть умножаем текущий остаток на 10. Если какой-то остаток повторился, то дальше всё пойдёт точно так же, как в прошлый раз, значит цифры после запятой начнут повторяться.
\nКак здесь:
\nОстаток снова стал 8 — как в самом начале. Значит, снова будут те же шаги и те же цифры 2, 1, 6. Поэтому
\n8/37 = 0,(216).
\nПочему деление не закончится? Чтобы оно закончилось, когда-нибудь остаток должен стать 0. Но остатки ходят по кругу 8 → 6 → 23 → 8 и 0 среди них нет.
", "latex": "При\\ делении\\ в\\ десятичную\\ дробь\\ каждый\\ раз\\ берём\\ остаток\\ и\\ умножаем\\ его\\ на\\ 10.\\ Если\\ остаток\\ повторился,\\ то\\ повторятся\\ и\\ следующие\\ цифры.\\\\\n80=2\\cdot 37+6,\\quad 60=1\\cdot 37+23,\\quad 230=6\\cdot 37+8.\\\\\nОстаток\\ снова\\ 8\\Rightarrow\\ период\\ 216,\\ \\frac{8}{37}=0,(216)." }, "latex_pack": { "html": "Ответ: 8/37 = 0,(216).
", "latex": "\\boxed{\\frac{8}{37}=0,(216)}" } } ```