```json
{
"short": {
"html": "
Проверим принадлежность чисел множествам: N — натуральные (1,2,3,…), Z — целые (…,-2,-1,0,1,2,…), Q — рациональные (дроби вида m/n, а также конечные и периодические десятичные).
а) −4 не натуральное, но целое, значит и рациональное: −4 ∉ N, −4 ∈ Z, −4 ∈ Q.
б) 5,6 не натуральное и не целое, но это конечная десятичная дробь, значит рациональное: 5,6 ∉ N, 5,6 ∉ Z, 5,6 ∈ Q.
в) 28 — натуральное, значит целое и рациональное: 28 ∈ N, 28 ∈ Z, 28 ∈ Q.
",
"latex": "N=\\{1,2,3,\\dots\\},\\quad Z=\\{\\dots,-2,-1,0,1,2,\\dots\\},\\quad Q=\\left\\{\\frac{m}{n}\\,\\middle|\\, m\\in Z,\\ n\\in N\\right\\}.\\\\\n\\textbf{а)}\\ -4\\notin N,\\ -4\\in Z,\\ -4\\in Q.\\\\\n\\textbf{б)}\\ 5{,}6\\notin N,\\ 5{,}6\\notin Z,\\ 5{,}6\\in Q.\\\\\n\\textbf{в)}\\ 28\\in N,\\ 28\\in Z,\\ 28\\in Q.",
"steps": [
"Вспоминаем: N — натуральные, Z — целые, Q — рациональные.",
"−4: не натуральное, но целое ⇒ рациональное.",
"5,6: не целое, но конечная десятичная ⇒ рациональное.",
"28: натуральное ⇒ целое ⇒ рациональное."
]
},
"detailed": {
"html": "
Нужно ответить, верны ли утверждения о принадлежности чисел множествам:
- N — натуральные числа: 1,2,3,…
- Z — целые числа: …,−2,−1,0,1,2,…
- Q — рациональные числа: те, которые можно записать как m/n, где m — целое, n — натуральное. К ним относятся все целые числа и все конечные/периодические десятичные дроби.
а) Число −4
- −4 не является натуральным (натуральные начинаются с 1): −4 ∉ N.
- −4 является целым: −4 ∈ Z.
- Любое целое число рационально, потому что −4 = −4/1: −4 ∈ Q.
б) Число 5,6
- 5,6 не натуральное: 5,6 ∉ N.
- 5,6 не целое (есть дробная часть): 5,6 ∉ Z.
- 5,6 — конечная десятичная дробь, значит рациональное: 5,6 = 56/10 = 28/5, поэтому 5,6 ∈ Q.
в) Число 28
- 28 — натуральное: 28 ∈ N.
- Любое натуральное — целое: 28 ∈ Z.
- Любое целое — рациональное: 28 = 28/1, значит 28 ∈ Q.
Ответ:
а) −4 ∉ N, −4 ∈ Z, −4 ∈ Q;
б) 5,6 ∉ N, 5,6 ∉ Z, 5,6 ∈ Q;
в) 28 ∈ N, 28 ∈ Z, 28 ∈ Q.
",
"latex": "\\textbf{Определения:}\\quad\nN=\\{1,2,3,\\dots\\},\\quad\nZ=\\{\\dots,-2,-1,0,1,2,\\dots\\},\\quad\nQ=\\left\\{\\frac{m}{n}\\,\\middle|\\, m\\in Z,\\ n\\in N\\right\\}.\\\\\n\\text{К рациональным относятся все целые и все конечные/периодические десятичные дроби.}\\\\[4pt]\n\\textbf{а)}\\ -4:\\\\\n-4\\notin N\\ (\\text{натуральные }\\ge 1);\\\\\n-4\\in Z;\\\\\n-4\\in Q,\\ \\text{так как }-4=\\frac{-4}{1}.\\\\[4pt]\n\\textbf{б)}\\ 5{,}6:\\\\\n5{,}6\\notin N;\\\\\n5{,}6\\notin Z;\\\\\n5{,}6\\in Q,\\ \\text{так как }5{,}6=\\frac{56}{10}=\\frac{28}{5}.\\\\[4pt]\n\\textbf{в)}\\ 28:\\\\\n28\\in N;\\\\\n28\\in Z;\\\\\n28\\in Q,\\ \\text{так как }28=\\frac{28}{1}.",
"steps": [
"Записываем определения множеств N, Z, Q.",
"а) Проверяем −4: отрицательное ⇒ не N; целое ⇒ Z; любое целое = m/1 ⇒ Q.",
"б) Проверяем 5,6: не целое ⇒ не Z и не N; конечная десятичная ⇒ можно записать дробью 56/10 ⇒ Q.",
"в) Проверяем 28: натуральное ⇒ N; значит также Z; и как 28/1 ⇒ Q.",
"Формулируем итоговые ответы для пунктов а), б), в)."
]
},
"parent_guide": {
"html": "
Как объяснить ребёнку (7 класс):
- N — это «счётные» числа: 1,2,3,… (без нуля и без отрицательных).
- Z — все целые: и отрицательные, и ноль, и положительные.
- Q — все числа, которые можно записать дробью m/n. Сюда входят все целые (например, 28 = 28/1) и все конечные десятичные (например, 5,6 = 56/10).
Дальше просто проверяем:
- −4: не может быть в N (отрицательное), но в Z — да, значит и в Q — да.
- 5,6: не целое, значит не в N и не в Z, но это конечная десятичная дробь ⇒ рациональное ⇒ в Q.
- 28: натуральное ⇒ автоматически целое и рациональное.
",
"latex": "\\textbf{Памятка:}\\quad\nN: 1,2,3,\\dots;\\quad\nZ: \\dots,-2,-1,0,1,2,\\dots;\\quad\nQ: \\frac{m}{n}.\\\\\n\\text{Целые }\\subset Q\\ (m=\\text{число},\\ n=1).\\ \\text{Конечные десятичные }\\subset Q.\\\\\n-4\\notin N,\\ -4\\in Z\\Rightarrow -4\\in Q.\\\\\n5{,}6\\notin Z\\Rightarrow 5{,}6\\notin N,\\ \\ 5{,}6=\\frac{56}{10}\\Rightarrow 5{,}6\\in Q.\\\\\n28\\in N\\Rightarrow 28\\in Z\\Rightarrow 28\\in Q."
},
"latex_pack": {
"html": "
Ответ: а) −4 ∉ N, −4 ∈ Z, −4 ∈ Q; б) 5,6 ∉ N, 5,6 ∉ Z, 5,6 ∈ Q; в) 28 ∈ N, 28 ∈ Z, 28 ∈ Q.
",
"latex": "% !TeX program = pdflatex\n\\documentclass[12pt]{article}\n\\usepackage[utf8]{inputenc}\n\\usepackage[T2A]{fontenc}\n\\usepackage[russian]{babel}\n\\usepackage{amsmath,amssymb}\n\\begin{document}\n\\section*{Упражнение 1}\nПусть\n\\[\nN=\\{1,2,3,\\dots\\},\\quad Z=\\{\\dots,-2,-1,0,1,2,\\dots\\},\\quad Q=\\left\\{\\frac{m}{n}\\,\\middle|\\, m\\in Z,\\ n\\in N\\right\\}.\n\\]\n\\begin{enumerate}\n\\item[а)] $-4\\notin N$, так как натуральные числа положительны; $-4\\in Z$; следовательно, $-4\\in Q$, так как $-4=\\frac{-4}{1}$.\n\\item[б)] $5{,}6\\notin N$ и $5{,}6\\notin Z$ (не целое). Но $5{,}6$ — конечная десятичная дробь, значит рациональное:\n\\[\n5{,}6=\\frac{56}{10}=\\frac{28}{5},\n\\]\nпоэтому $5{,}6\\in Q$.\n\\item[в)] $28\\in N$, значит $28\\in Z$, и также $28\\in Q$, так как $28=\\frac{28}{1}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{document}\n"
}
}
```
