```json
{
"short": {
"html": "
2. Подмножества
\n
а) B ⊂ A (кратные 4 — это чётные).
\n
б) A ⊂ B (делители 12 — делители 60).
\n
в) B ⊂ A (прямоугольные треугольники — часть всех треугольников).
\n\n
3. В виде отношения целого к натуральному
\n
\n- 1 = 1/1
\n- 0,3 = 3/10
\n- −3 1/4 = −13/4
\n- −27 = −27/1
\n- 0 = 0/1
\n
\n\n
4. В виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем
\n
\n- 36 = 36/1
\n- −45 = −45/1
\n- 4,2 = 21/5
\n- −0,8 = −4/5
\n- 15 1/6 = 91/6
\n- −2/9 = −2/9
\n
\n\n
5. В виде бесконечной десятичной дроби
\n
\n- а) 1/3 = 0,(3)
\n- б) 5/6 = 0,8(3)
\n- в) 1/7 = 0,(142857)
\n- г) −20/9 = −2,(2)
\n- д) −8/15 = −0,5(3)
\n- е) 10,28 = 10,28000…
\n- ж) −3/40 = −0,07500…
\n- з) 7/16 = 0,4375(0)…
\n- и) −17 = −17,000…
\n- к) 2 3/11 = 2,(27)
\n
\n\n
6. Сравнение
\n
\n- а) 0,013 < 0,1004
\n- б) −24 3/4 < 0,003
\n- в) −3,24 > −3,42
\n- г) 3/8 = 0,375
\n- д) −1,174 < −1 7/40
\n- е) 10/11 < 11/12
\n- ж) −2,005 > −2,04
\n- з) −1 > −1,75
\n- и) 0,437 < 7/16
\n- к) −1/8 > −0,13
\n- л) 1,37 < 1,(37)
\n- м) −5,(34) < −5,34
\n
\n\n
7. Пример числа между
\n
\n- а) между 1/8 и 1/7: 0,13
\n- б) между 1/6 и 1/5: 0,17
\n
\n\n
8. Несколько чисел между
\n
\n- а) между 10 и 10,1: 10,01; 10,05; 10,09
\n- б) между −0,001 и 0: −0,0009; −0,0005; −0,0001
\n- в) между −1001 и −1000: −1000,9; −1000,5; −1000,1
\n- г) между 1/3 и 2/3: 0,4; 0,5; 0,6
\n
\n\n
9. Пять чисел между
\n
\n- а) между 1,3 и 1,4: 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35
\n- б) между 5 и 5 1/6: 5,01; 5,05; 5,10; 5,12; 5,15
\n- в) между −10000 и −1000: −9000; −8000; −7000; −6000; −5000
\n- г) между −1/4 и −1/3: −0,26; −0,27; −0,28; −0,29; −0,30
\n
",
"latex": "\\textbf{2.}\\;\\text{а) }B\\subset A.\\;\\text{б) }A\\subset B.\\;\\text{в) }B\\subset A.\\\\\n\\textbf{3.}\\;1=\\frac11,\\;0{,}3=\\frac{3}{10},\\;-3\\frac14=-\\frac{13}{4},\\;-27=-\\frac{27}{1},\\;0=\\frac01.\\\\\n\\textbf{4.}\\;36=\\frac{36}{1},\\;-45=\\frac{-45}{1},\\;4{,}2=\\frac{21}{5},\\;-0{,}8=-\\frac45,\\;15\\frac16=\\frac{91}{6},\\;-\\frac29=-\\frac29.\\\\\n\\textbf{5.}\\;\\frac13=0,(3);\\;\\frac56=0,8(3);\\;\\frac17=0,(142857);\\;-\\frac{20}{9}=-2,(2);\\;-\\frac{8}{15}=-0,5(3);\\\\\n10{,}28=10{,}28000\\ldots;\\;-\\frac{3}{40}=-0{,}07500\\ldots;\\;\\frac{7}{16}=0{,}4375\\ldots;\\;-17=-17{,}000\\ldots;\\;2\\frac{3}{11}=2,(27).\\\\\n\\textbf{6.}\\;0{,}013<0{,}1004;\\;-24\\frac34<0{,}003;\\;-3{,}24>-3{,}42;\\;\\frac38=0{,}375;\\;-1{,}174<-1\\frac{7}{40};\\\\\n\\frac{10}{11}<\\frac{11}{12};\\;-2{,}005>-2{,}04;\\;-1>-1{,}75;\\;0{,}437<\\frac{7}{16};\\;-\\frac18>-0{,}13;\\;1{,}37<1,(37);\\;-5,(34)<-5{,}34.\\\\\n\\textbf{7.}\\;\\text{а) }0{,}13;\\;\\text{б) }0{,}17.\\\\\n\\textbf{8.}\\;\\text{а) }10{,}01;10{,}05;10{,}09.\\;\\text{б) }-0{,}0009;-0{,}0005;-0{,}0001.\\\\\n\\text{в) }-1000{,}9;-1000{,}5;-1000{,}1.\\;\\text{г) }0{,}4;0{,}5;0{,}6.\\\\\n\\textbf{9.}\\;\\text{а) }1{,}31;1{,}32;1{,}33;1{,}34;1{,}35.\\\\\n\\text{б) }5{,}01;5{,}05;5{,}10;5{,}12;5{,}15.\\\\\n\\text{в) }-9000;-8000;-7000;-6000;-5000.\\\\\n\\text{г) }-0{,}26;-0{,}27;-0{,}28;-0{,}29;-0{,}30.",
"steps": [
"2: Проверяем включение по смыслу (кратные 4 ⊂ чётных; прямоугольные ⊂ треугольников; делители 12 входят в делители 60).",
"3: Переводим десятичные и смешанные числа в дроби; целые записываем со знаменателем 1; 0 как 0/1.",
"4: Десятичные переводим в дроби и сокращаем; смешанные — в неправильные.",
"5: Делим числитель на знаменатель; если деление не заканчивается — получаем период; конечные дописываем нулями.",
"6: Сравниваем по десятичной записи или приводим к общему виду; для отрицательных: больше то, что ближе к нулю.",
"7–9: Выбираем любые числа строго между границами."
]
},
"detailed": {
"html": "
2. Какое множество является подмножеством другого
\n
а) A — чётные числа, B — числа, кратные 4.
\n
Любое число, кратное 4, имеет вид 4k = 2(2k), значит оно чётное. Следовательно, B ⊂ A. Обратно неверно: 2 — чётное, но не кратно 4.
\n\n
б) A — делители 12, B — делители 60.
\n
12 | 60, то есть 60 = 12·5. Если d делит 12, то 12 = d·m, тогда 60 = 12·5 = d·(5m), значит d делит 60. Следовательно, A ⊂ B.
\n\n
в) A — треугольники, B — прямоугольные треугольники.
\n
Каждый прямоугольный треугольник — это треугольник, значит B ⊂ A. Обратно неверно: равносторонний треугольник не прямоугольный.
\n\n
3. Представьте как отношение целого к натуральному
\n
\n- 1: 1 = 1/1.
\n- 0,3: 0,3 = 3/10 (переносим запятую на 1 знак).
\n- −3 1/4: −(3 + 1/4) = −13/4.
\n- −27: −27 = −27/1.
\n- 0: 0 = 0/1 (или 0/n при любом натуральном n).
\n
\n\n
4. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем
\n
\n- 36 = 36/1.
\n- −45 = −45/1.
\n- 4,2 = 42/10 = 21/5.
\n- −0,8 = −8/10 = −4/5.
\n- 15 1/6 = (15·6+1)/6 = 91/6.
\n- −2/9 уже имеет наименьший знаменатель (дробь несократима).
\n
\n\n
5. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби
\n
Если в знаменателе (после сокращения) есть простые множители, кроме 2 и 5, десятичная дробь будет бесконечной периодической.
\n
\n- а) 1/3 = 0,333… = 0,(3)
\n- б) 5/6 = 0,8333… = 0,8(3)
\n- в) 1/7 = 0,142857142857… = 0,(142857)
\n- г) −20/9 = −2,222… = −2,(2)
\n- д) −8/15 = −0,5333… = −0,5(3)
\n- е) 10,28 = 10,28000…
\n- ж) −3/40 = −0,07500…
\n- з) 7/16 = 0,4375 = 0,4375000…
\n- и) −17 = −17,000…
\n- к) 2 3/11 = 2 + 3/11 = 2,2727… = 2,(27)
\n
\n\n
6. Сравните рациональные числа
\n
\n- а) 0,013 < 0,1004 (сравниваем по разрядам).
\n- б) −24 3/4 = −24,75 < 0,003 (любое отрицательное меньше положительного).
\n- в) −3,24 > −3,42 (у отрицательных больше то, что ближе к нулю).
\n- г) 3/8 = 0,375, значит равны.
\n- д) −1 7/40 = −1,175, поэтому −1,174 > −1,175, то есть −1,174 > −1 7/40.
\n- е) 10/11 и 11/12: сравним крест-накрест: 10·12=120, 11·11=121, значит 10/11 < 11/12.
\n- ж) −2,005 > −2,04.
\n- з) −1 > −1,75.
\n- и) 7/16 = 0,4375, а 0,437 < 0,4375, значит 0,437 < 7/16.
\n- к) −1/8 = −0,125 > −0,13.
\n- л) 1,(37) = 1,373737… > 1,37.
\n- м) −5,(34) = −5,343434… < −5,34.
\n
\n\n
7. Укажите какое-либо число
\n
\n- а) 1/8 = 0,125, 1/7 ≈ 0,142857. Подойдёт, например, 0,13.
\n- б) 1/6 ≈ 0,1666…, 1/5 = 0,2. Подойдёт, например, 0,17.
\n
\n\n
8. Несколько чисел между
\n
\n- а) между 10 и 10,1: 10,01; 10,02; 10,05; 10,09.
\n- б) между −0,001 и 0: −0,0009; −0,0007; −0,0003; −0,0001.
\n- в) между −1001 и −1000: −1000,9; −1000,8; −1000,5; −1000,1.
\n- г) между 1/3 и 2/3: 0,4; 0,5; 0,6 (так как 1/3≈0,333…, 2/3≈0,666…).
\n
\n\n
9. Пять чисел между
\n
\n- а) между 1,3 и 1,4: 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35.
\n- б) между 5 и 5 1/6 (то есть 5,1666…): 5,01; 5,05; 5,10; 5,12; 5,15.
\n- в) между −10000 и −1000: −9000; −8000; −7000; −6000; −5000.
\n- г) между −1/4 (−0,25) и −1/3 (≈−0,333…): −0,30; −0,29; −0,28; −0,27; −0,26.
\n
",
"latex": "\\textbf{2.}\\;\\text{а) }\\forall x\\in B\\; x=4k=2(2k)\\Rightarrow x\\in A\\Rightarrow B\\subset A.\\\\\n\\text{б) }60=12\\cdot 5.\\; d\\mid 12\\Rightarrow 12=d\\cdot m\\Rightarrow 60=d\\cdot (5m)\\Rightarrow d\\mid 60\\Rightarrow A\\subset B.\\\\\n\\text{в) }\\text{Каждый прямоугольный треугольник — треугольник}\\Rightarrow B\\subset A.\\\\\n\n\\textbf{3.}\\;1=\\frac11;\\;0{,}3=\\frac{3}{10};\\;-3\\frac14=-\\frac{13}{4};\\;-27=-\\frac{27}{1};\\;0=\\frac01.\\\\\n\n\\textbf{4.}\\;36=\\frac{36}{1};\\;-45=\\frac{-45}{1};\\;4{,}2=\\frac{42}{10}=\\frac{21}{5};\\;-0{,}8=\\frac{-8}{10}=-\\frac45;\\\\\n15\\frac16=\\frac{15\\cdot 6+1}{6}=\\frac{91}{6};\\;-\\frac29\\;\\text{несократима}.\\\\\n\n\\textbf{5.}\\;\\frac13=0,(3);\\;\\frac56=0,8(3);\\;\\frac17=0,(142857);\\;-\\frac{20}{9}=-2,(2);\\;-\\frac{8}{15}=-0,5(3);\\\\\n10{,}28=10{,}28000\\ldots;\\;-\\frac{3}{40}=-0{,}07500\\ldots;\\;\\frac{7}{16}=0{,}437500\\ldots;\\;-17=-17{,}000\\ldots;\\\\\n2\\frac{3}{11}=2+\\frac{3}{11}=2,(27).\\\\\n\n\\textbf{6.}\\;\\text{а) }0{,}013<0{,}1004.\\;\\text{б) }-24\\frac34<0{,}003.\\;\\text{в) }-3{,}24>-3{,}42.\\;\\text{г) }\\frac38=0{,}375.\\\\\n\\text{д) }-1\\frac{7}{40}=-1{,}175\\Rightarrow -1{,}174>-1\\frac{7}{40}.\\;\\text{е) }\\frac{10}{11}<\\frac{11}{12}\\;\\text{т.к. }120<121.\\\\\n\\text{ж) }-2{,}005>-2{,}04.\\;\\text{з) }-1>-1{,}75.\\;\\text{и) }\\frac{7}{16}=0{,}4375\\Rightarrow 0{,}437<\\frac{7}{16}.\\\\\n\\text{к) }-\\frac18=-0{,}125>-0{,}13.\\;\\text{л) }1{,}37<1,(37).\\;\\text{м) }-5,(34)=-5{,}3434\\ldots<-5{,}34.\\\\\n\n\\textbf{7.}\\;\\text{а) }0{,}13.\\;\\text{б) }0{,}17.\\\\\n\n\\textbf{8.}\\;\\text{а) }10{,}01;10{,}02;10{,}05;10{,}09.\\;\\text{б) }-0{,}0009;-0{,}0007;-0{,}0003;-0{,}0001.\\\\\n\\text{в) }-1000{,}9;-1000{,}8;-1000{,}5;-1000{,}1.\\;\\text{г) }0{,}4;0{,}5;0{,}6.\\\\\n\n\\textbf{9.}\\;\\text{а) }1{,}31;1{,}32;1{,}33;1{,}34;1{,}35.\\\\\n\\text{б) }5{,}01;5{,}05;5{,}10;5{,}12;5{,}15.\\\\\n\\text{в) }-9000;-8000;-7000;-6000;-5000.\\\\\n\\text{г) }-0{,}30;-0{,}29;-0{,}28;-0{,}27;-0{,}26.",
"steps": [
"2а: Любое 4k делится на 2 ⇒ B ⊂ A; пример 2 показывает, что A не ⊂ B.",
"2б: Так как 60 = 12·5, любой делитель 12 делит и 60 ⇒ A ⊂ B.",
"2в: Прямоугольные треугольники — частный вид треугольников ⇒ B ⊂ A.",
"3: Десятичные переводим в дроби (по числу знаков после запятой), смешанные — в неправильные, целые — со знаменателем 1.",
"4: Переводим в дроби и сокращаем до несократимой; знаменатель должен быть натуральным.",
"5: Выполняем деление; если знаменатель имеет множители кроме 2 и 5 — получаем период; конечные записываем как бесконечные с нулями.",
"6: Сравниваем: (1) по десятичным разрядам; (2) переводом в десятичные; (3) крест-накрест для дробей; помним правило для отрицательных.",
"7–9: Находим числа строго внутри интервала (можно брать десятичные приближения)."
]
},
"parent_guide": {
"html": "
Памятка для родителей (как объяснить ребёнку)
\n
\n- Подмножество: B ⊂ A означает «каждый элемент B обязательно принадлежит A».
\n- Кратные 4 всегда чётные, потому что 4k = 2·(2k). Поэтому «кратные 4» — более узкое множество.
\n- Делители: если одно число делится на другое (60 делится на 12), то все делители меньшего входят в делители большего.
\n- Смешанное число переводим в неправильную дробь: a b/c = (a·c+b)/c, знак «−» относится ко всему числу.
\n- Десятичная дробь → обыкновенная: убираем запятую, в знаменателе 10, 100, 1000… и сокращаем.
\n- Обыкновенная дробь → десятичная: делим числитель на знаменатель. Если после сокращения знаменатель имеет только 2 и/или 5 — дробь конечная; иначе будет период.
\n- Сравнение отрицательных: −2,04 меньше, чем −2,005, потому что оно «дальше от нуля».
\n- Числа между: удобно перевести границы в десятичные и выбрать любое число строго между ними.
\n
",
"latex": "\\textbf{Памятка.}\\;B\\subset A\\iff (\\forall x\\in B\\; x\\in A).\\\\\n4k=2\\cdot(2k)\\Rightarrow \\text{кратные 4 }\\subset \\text{чётных}.\\\\\n60=12\\cdot 5\\Rightarrow (d\\mid 12\\Rightarrow d\\mid 60).\\\\\n a\\frac{b}{c}=\\frac{ac+b}{c}.\\;\\text{Десятичная }\\to\\text{ дробь: }0{,}3=\\frac{3}{10}.\\\\\n\\text{Сравнение отрицательных: больше то, что ближе к }0."
},
"latex_pack": {
"html": "
LaTeX-пак (готово для вставки)
\n
\\textbf{2.}\\;\\text{а) }B\\subset A.\\;\\text{б) }A\\subset B.\\;\\text{в) }B\\subset A.\n\n\\textbf{3.}\\;1=\\frac11,\\;0{,}3=\\frac{3}{10},\\;-3\\frac14=-\\frac{13}{4},\\;-27=-\\frac{27}{1},\\;0=\\frac01.\n\n\\textbf{4.}\\;36=\\frac{36}{1},\\;-45=\\frac{-45}{1},\\;4{,}2=\\frac{21}{5},\\;-0{,}8=-\\frac45,\\;15\\frac16=\\frac{91}{6},\\;-\\frac29.\n\n\\textbf{5.}\\;\\frac13=0,(3);\\;\\frac56=0,8(3);\\;\\frac17=0,(142857);\\;-\\frac{20}{9}=-2,(2);\\;-\\frac{8}{15}=-0,5(3);\n10{,}28=10{,}28000\\ldots;\\;-\\frac{3}{40}=-0{,}07500\\ldots;\\;\\frac{7}{16}=0{,}437500\\ldots;\\;-17=-17{,}000\\ldots;\\;2\\frac{3}{11}=2,(27).\n\n\\textbf{6.}\\;0{,}013<0{,}1004;\\;-24\\frac34<0{,}003;\\;-3{,}24>-3{,}42;\\;\\frac38=0{,}375;\\;-1{,}174>-1\\frac{7}{40};\n\\frac{10}{11}<\\frac{11}{12};\\;-2{,}005>-2{,}04;\\;-1>-1{,}75;\\;0{,}437<\\frac{7}{16};\\;-\\frac18>-0{,}13;\\;1{,}37<1,(37);\\;-5,(34)<-5{,}34.\n\n\\textbf{7.}\\;\\text{а) }0{,}13.\\;\\text{б) }0{,}17.\n\n\\textbf{8.}\\;\\text{а) }10{,}01;10{,}05;10{,}09.\\;\\text{б) }-0{,}0009;-0{,}0005;-0{,}0001.\\;\\text{в) }-1000{,}9;-1000{,}5;-1000{,}1.\\;\\text{г) }0{,}4;0{,}5;0{,}6.\n\n\\textbf{9.}\\;\\text{а) }1{,}31;1{,}32;1{,}33;1{,}34;1{,}35.\\;\\text{б) }5{,}01;5{,}05;5{,}10;5{,}12;5{,}15.\\;\\text{в) }-9000;-8000;-7000;-6000;-5000.\\;\\text{г) }-0{,}30;-0{,}29;-0{,}28;-0{,}27;-0{,}26.\n",
"latex": "\\textbf{2.}\\;\\text{а) }B\\subset A.\\;\\text{б) }A\\subset B.\\;\\text{в) }B\\subset A.\n\n\\textbf{3.}\\;1=\\frac11,\\;0{,}3=\\frac{3}{10},\\;-3\\frac14=-\\frac{13}{4},\\;-27=-\\frac{27}{1},\\;0=\\frac01.\n\n\\textbf{4.}\\;36=\\frac{36}{1},\\;-45=\\frac{-45}{1},\\;4{,}2=\\frac{21}{5},\\;-0{,}8=-\\frac45,\\;15\\frac16=\\frac{91}{6},\\;-\\frac29.\n\n\\textbf{5.}\\;\\frac13=0,(3);\\;\\frac56=0,8(3);\\;\\frac17=0,(142857);\\;-\\frac{20}{9}=-2,(2);\\;-\\frac{{8}}{15}=-0,5(3);\n10{,}28=10{,}28000\\ldots;\\;-\\frac{3}{40}=-0{,}07500\\ldots;\\;\\frac{7}{16}=0{,}437500\\ldots;\\;-17=-17{,}000\\ldots;\\;2\\frac{3}{11}=2,(27).\n\n\\textbf{6.}\\;0{,}013<0{,}1004;\\;-24\\frac34<0{,}003;\\;-3{,}24>-3{,}42;\\;\\frac38=0{,}375;\\;-1{,}174>-1\\frac{7}{40};\n\\frac{10}{11}<\\frac{11}{12};\\;-2{,}005>-2{,}04;\\;-1>-1{,}75;\\;0{,}437<\\frac{7}{16};\\;-\\frac18>-0{,}13;\\;1{,}37<1,(37);\\;-5,(34)<-5{,}34.\n\n\\textbf{7.}\\;\\text{а) }0{,}13.\\;\\text{б) }0{,}17.\n\n\\textbf{8.}\\;\\text{а) }10{,}01;10{,}05;10{,}09.\\;\\text{б) }-0{,}0009;-0{,}0005;-0{,}0001.\\;\\text{в) }-1000{,}9;-1000{,}5;-1000{,}1.\\;\\text{г) }0{,}4;0{,}5;0{,}6.\n\n\\textbf{9.}\\;\\text{а) }1{,}31;1{,}32;1{,}33;1{,}34;1{,}35.\\;\\text{б) }5{,}01;5{,}05;5{,}10;5{,}12;5{,}15.\\;\\text{в) }-9000;-8000;-7000;-6000;-5000.\\;\\text{г) }-0{,}30;-0{,}29;-0{,}28;-0{,}27;-0{,}26."
}
}
```
