2. Какое множество является подмножеством другого
а) A — чётные числа, B — числа, кратные 4.
Любое число, кратное 4, имеет вид 4k = 2(2k), значит оно чётное. Следовательно, B ⊂ A. Обратно неверно: 2 — чётное, но не кратно 4.
б) A — делители 12, B — делители 60.
12 | 60, то есть 60 = 12·5. Если d делит 12, то 12 = d·m, тогда 60 = 12·5 = d·(5m), значит d делит 60. Следовательно, A ⊂ B.
в) A — треугольники, B — прямоугольные треугольники.
Каждый прямоугольный треугольник — это треугольник, значит B ⊂ A. Обратно неверно: равносторонний треугольник не прямоугольный.
3. Представьте как отношение целого к натуральному
- 1: 1 = 1/1.
- 0,3: 0,3 = 3/10 (переносим запятую на 1 знак).
- −3 1/4: −(3 + 1/4) = −13/4.
- −27: −27 = −27/1.
- 0: 0 = 0/1 (или 0/n при любом натуральном n).
4. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем
- 36 = 36/1.
- −45 = −45/1.
- 4,2 = 42/10 = 21/5.
- −0,8 = −8/10 = −4/5.
- 15 1/6 = (15·6+1)/6 = 91/6.
- −2/9 уже имеет наименьший знаменатель (дробь несократима).
5. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби
Если в знаменателе (после сокращения) есть простые множители, кроме 2 и 5, десятичная дробь будет бесконечной периодической.
- а) 1/3 = 0,333… = 0,(3)
- б) 5/6 = 0,8333… = 0,8(3)
- в) 1/7 = 0,142857142857… = 0,(142857)
- г) −20/9 = −2,222… = −2,(2)
- д) −8/15 = −0,5333… = −0,5(3)
- е) 10,28 = 10,28000…
- ж) −3/40 = −0,07500…
- з) 7/16 = 0,4375 = 0,4375000…
- и) −17 = −17,000…
- к) 2 3/11 = 2 + 3/11 = 2,2727… = 2,(27)
6. Сравните рациональные числа
- а) 0,013 < 0,1004 (сравниваем по разрядам).
- б) −24 3/4 = −24,75 < 0,003 (любое отрицательное меньше положительного).
- в) −3,24 > −3,42 (у отрицательных больше то, что ближе к нулю).
- г) 3/8 = 0,375, значит равны.
- д) −1 7/40 = −1,175, поэтому −1,174 > −1,175, то есть −1,174 > −1 7/40.
- е) 10/11 и 11/12: сравним крест-накрест: 10·12=120, 11·11=121, значит 10/11 < 11/12.
- ж) −2,005 > −2,04.
- з) −1 > −1,75.
- и) 7/16 = 0,4375, а 0,437 < 0,4375, значит 0,437 < 7/16.
- к) −1/8 = −0,125 > −0,13.
- л) 1,(37) = 1,373737… > 1,37.
- м) −5,(34) = −5,343434… < −5,34.
7. Укажите какое-либо число
- а) 1/8 = 0,125, 1/7 ≈ 0,142857. Подойдёт, например, 0,13.
- б) 1/6 ≈ 0,1666…, 1/5 = 0,2. Подойдёт, например, 0,17.
8. Несколько чисел между
- а) между 10 и 10,1: 10,01; 10,02; 10,05; 10,09.
- б) между −0,001 и 0: −0,0009; −0,0007; −0,0003; −0,0001.
- в) между −1001 и −1000: −1000,9; −1000,8; −1000,5; −1000,1.
- г) между 1/3 и 2/3: 0,4; 0,5; 0,6 (так как 1/3≈0,333…, 2/3≈0,666…).
9. Пять чисел между
- а) между 1,3 и 1,4: 1,31; 1,32; 1,33; 1,34; 1,35.
- б) между 5 и 5 1/6 (то есть 5,1666…): 5,01; 5,05; 5,10; 5,12; 5,15.
- в) между −10000 и −1000: −9000; −8000; −7000; −6000; −5000.
- г) между −1/4 (−0,25) и −1/3 (≈−0,333…): −0,30; −0,29; −0,28; −0,27; −0,26.
Шаг 1
2а: Любое 4k делится на 2 ⇒ B ⊂ A; пример 2 показывает, что A не ⊂ B.
Шаг 2
2б: Так как 60 = 12·5, любой делитель 12 делит и 60 ⇒ A ⊂ B.
Шаг 3
2в: Прямоугольные треугольники — частный вид треугольников ⇒ B ⊂ A.
Шаг 4
3: Десятичные переводим в дроби (по числу знаков после запятой), смешанные — в неправильные, целые — со знаменателем 1.
Шаг 5
4: Переводим в дроби и сокращаем до несократимой; знаменатель должен быть натуральным.
Шаг 6
5: Выполняем деление; если знаменатель имеет множители кроме 2 и 5 — получаем период; конечные записываем как бесконечные с нулями.
Шаг 7
6: Сравниваем: (1) по десятичным разрядам; (2) переводом в десятичные; (3) крест-накрест для дробей; помним правило для отрицательных.
Шаг 8
7–9: Находим числа строго внутри интервала (можно брать десятичные приближения).
