Решение задачи 76 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

Ответ (вывод): график линейной функции y=kx+b (при k\\ne0) — это прямая. Она получается из графика y=kx вертикальным сдвигом на b единиц и проходит через точку (0;b).

Для примера y=0{,}5x+2: это прямая, параллельная y=0{,}5x, сдвинутая вверх на 2 и проходящая через (0;2).

", "latex": "\\textbf{Вывод: }\\text{график }y=kx+b\\ (k\\ne0)\\text{ — прямая. Он получается из }y=kx\\text{ сдвигом по оси }y\\text{ на }b\\text{ и проходит через }(0;b).\\\\\n\\text{Для }y=0{,}5x+2:\\text{ прямая, параллельная }y=0{,}5x,\\text{ сдвинутая вверх на }2,\\text{ через }(0;2).", "steps": [ "Сравниваем y=kx и y=kx+b при одинаковых x: второе значение всегда на b больше.", "Значит, каждая точка (x;y) графика y=kx переходит в (x;y+b).", "Это вертикальный сдвиг на b, поэтому график y=kx+b — прямая, параллельная y=kx, проходящая через (0;b)." ] }, "detailed": { "html": "

Нужно выяснить вид графика функции y=kx+b (при k\\ne0).

\n

1) Сравнение с прямой пропорциональностью

\n

Рассмотрим две функции при одном и том же x:

\n

\n
• y_1=kx
\n
• y_2=kx+b
\n

\n

Тогда для любого x:

\n

y_2-y_1=(kx+b)-kx=b.

\n

То есть значение второй функции всегда на b больше (если b>0) или на |b| меньше (если b<0), чем значение первой.

\n

2) Геометрический смысл

\n

Если точка графика y=kx имеет координаты (x; y), то соответствующая точка графика y=kx+b будет:

\n

(x; y+b).

\n

Это означает вертикальный сдвиг графика на b единиц: вверх при b>0 и вниз при b<0.

\n

3) Следствия

\n

\n
• График y=kx — прямая, проходящая через начало координат.
\n
• Вертикальный сдвиг прямой даёт снова прямую.
\n
• Сдвиг не меняет наклон, значит новая прямая параллельна старой.
\n
• При x=0 получаем y=b, значит прямая проходит через точку (0;b).
\n

\n

Пример: y=0{,}5x+2.

\n

Для каждого x значение 0{,}5x+2 на 2 больше, чем 0{,}5x, значит график — прямая, параллельная y=0{,}5x, сдвинутая вверх на 2 и проходящая через (0;2).

", "latex": "\\textbf{Найти вид графика }y=kx+b\\ (k\\ne0).\\\\\n\\textbf{1) Сравним с }y=kx.\\\\\n\\forall x:\\quad y_1=kx,\\quad y_2=kx+b.\\\\\n\\Rightarrow\\ y_2-y_1=(kx+b)-kx=b.\\\\\n\\text{Значит, значение }y_2\\text{ всегда отличается от }y_1\\text{ на }b.\\\\\n\\textbf{2) Геометрический смысл.}\\\\\n\\text{Если }(x;y)\\text{ лежит на графике }y=kx,\\text{ то }(x;y+b)\\text{ лежит на }y=kx+b.\\\\\n\\text{Это вертикальный сдвиг на }b\\text{ единиц (вверх при }b>0\\text{, вниз при }b<0).\\\\\n\\textbf{3) Следствия.}\\\\\n\\text{График }y=kx\\text{ — прямая, значит после сдвига получаем тоже прямую.}\\\\\n\\text{Наклон не меняется }\\Rightarrow\\text{ прямая }y=kx+b\\text{ параллельна }y=kx.\\\\\n\\text{При }x=0:\\ y=b\\Rightarrow\\text{ проходит через }(0;b).\\\\\n\\textbf{Пример: }y=0{,}5x+2\\text{ — прямая, параллельная }y=0{,}5x,\\text{ сдвинутая вверх на }2,\\text{ через }(0;2).", "steps": [ "Берём две функции: y1=kx и y2=kx+b.", "Вычисляем разность: y2−y1=b (не зависит от x).", "Значит, при каждом x значение y2 получается из y1 добавлением b.", "Точка (x;y) переходит в (x;y+b): это вертикальный сдвиг на b.", "Сдвиг прямой даёт прямую; наклон тот же ⇒ параллельность y=kx.", "При x=0 получаем y=b ⇒ прямая проходит через (0;b)." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителя (как объяснить ребёнку):

\n

\n
1. Сначала напомните: y=kx — это прямая через начало координат.
\n
2. Покажите идею «прибавили b»: в формуле y=kx+b к каждому значению kx добавляется одно и то же число b.
\n
3. Значит, все точки графика поднимаются (если b>0) или опускаются (если b<0) на одинаковое расстояние — это «сдвиг вверх/вниз».
\n
4. Сдвиг не меняет наклон, поэтому новая прямая параллельна старой.
\n
5. Быстрая проверка: подставьте x=0. Получится y=b, значит прямая обязательно проходит через точку (0;b).
\n

\n

Пример: y=0{,}5x+2 — это линия как у y=0{,}5x, только вся поднята на 2 клетки вверх.

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителя:}\\\\\n1)\\ y=kx\\text{ — прямая через }(0;0).\\\\\n2)\\ y=kx+b\\text{ означает: к каждому значению }kx\\text{ прибавили одно и то же }b.\\\\\n3)\\ Значит, все точки поднялись/опустились на }b\\text{ (вертикальный сдвиг).}\\\\\n4)\\ Наклон не меняется }\\Rightarrow\\text{ прямая параллельна }y=kx.\\\\\n5)\\ Проверка: x=0\\Rightarrow y=b,\\text{ значит проходит через }(0;b).\\\\\n\\text{Пример: }y=0{,}5x+2\\text{ — график }y=0{,}5x\\text{, сдвинутый вверх на }2." }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX (готовый фрагмент решения):

\\textbf{График линейной функции.}\n\nРассмотрим функции $y_1=kx$ и $y_2=kx+b$ при одном и том же $x$.\nТогда\n\\[\n y_2-y_1=(kx+b)-kx=b.\n\\]\nЗначит, для любого $x$ значение $y_2$ на $b$ больше (или меньше, если $b<0$), чем $y_1$.\nЕсли точка $(x;y)$ принадлежит графику $y=kx$, то точка $(x;y+b)$ принадлежит графику $y=kx+b$.\nЭто вертикальный сдвиг на $b$ единиц.\nСледовательно, график функции $y=kx+b$ ($k\\ne0$) — прямая, параллельная прямой $y=kx$ и проходящая через точку $(0;b)$.\n\n\\textbf{Пример: } $y=0{,}5x+2$ — прямая, параллельная $y=0{,}5x$, сдвинутая вверх на 2 и проходящая через $(0;2)$.

", "latex": "\\textbf{График линейной функции.}\n\nРассмотрим функции $y_1=kx$ и $y_2=kx+b$ при одном и том же $x$.\nТогда\n\\[\n y_2-y_1=(kx+b)-kx=b.\n\\]\nЗначит, для любого $x$ значение $y_2$ на $b$ больше (или меньше, если $b<0$), чем $y_1$.\nЕсли точка $(x;y)$ принадлежит графику $y=kx$, то точка $(x;y+b)$ принадлежит графику $y=kx+b$.\nЭто вертикальный сдвиг на $b$ единиц.\nСледовательно, график функции $y=kx+b$ ($k\\ne0$) — прямая, параллельная прямой $y=kx$ и проходящая через точку $(0;b)$.\n\n\\textbf{Пример: } $y=0{,}5x+2$ — прямая, параллельная $y=0{,}5x$, сдвинутая вверх на 2 и проходящая через $(0;2)$." } } ```