Решение задачи 70 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

Прямая пропорциональность — это функция вида y = kx, где k ≠ 0.

\n

В примере с железом: плотность 7,8 г/см³, значит масса m (г) зависит от объёма V (см³) так:

\n

m = 7,8V.

\n

Здесь k = 7,8 — коэффициент прямой пропорциональности.

\n

Если взять два значения объёма V₁, V₂ (не нулевые), то:

\n

m₁/V₁ = m₂/V₂ = 7,8, то есть V₁/V₂ = m₁/m₂.

\n

График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат (0;0).

", "latex": "\\textbf{Прямая пропорциональность: } y=kx,\\ k\\ne 0.\\\\\n\\text{Для железа при плотности }7{,}8\\ \\text{г/см}^3:\\quad m=7{,}8V.\\\\\n\\text{Коэффициент }k=7{,}8.\\\\\n\\frac{m_1}{V_1}=\\frac{m_2}{V_2}=7{,}8\\ \\Rightarrow\\ \\frac{V_1}{V_2}=\\frac{m_1}{m_2}.\\\\\n\\text{График }y=kx\\text{ — прямая через }(0,0).", "steps": [ "Записываем зависимость массы от объёма: m = ρV.", "Подставляем плотность железа ρ = 7,8 г/см³: m = 7,8V.", "Сравниваем с y = kx и получаем k = 7,8.", "Делаем вывод о пропорции: m/V постоянно и равно k; график — прямая через (0;0)." ] }, "detailed": { "html": "

1) Что такое прямая пропорциональность

\n

Функция называется прямой пропорциональностью, если её можно задать формулой

\n

y = kx, где k ≠ 0.

\n

Число k называется коэффициентом прямой пропорциональности.

\n\n

2) Пример с железным бруском

\n

Пусть:

\n

\n
• V — объём (см³),
\n
• m — масса (г),
\n
• плотность железа ρ = 7,8 г/см³.
\n

\n

По формуле связи массы и объёма:

\n

m = ρV

\n

Подставляем ρ = 7,8:

\n

m = 7,8V

\n

Это и есть вид y = kx, где:

\n

\n
• x = V,
\n
• y = m,
\n
• k = 7,8.
\n

\n\n

3) Почему это «прямая пропорциональность»

\n

Возьмём два объёма V₁ и V₂ (оба не равны нулю). Тогда:

\n

m₁ = 7,8V₁,   m₂ = 7,8V₂

\n

Разделим массу на объём:

\n

m₁/V₁ = 7,8 и m₂/V₂ = 7,8

\n

Значит:

\n

m₁/V₁ = m₂/V₂

\n

Отсюда получается пропорция:

\n

V₁/V₂ = m₁/m₂

\n

То есть при увеличении объёма в несколько раз масса увеличивается во столько же раз.

\n\n

4) График y = kx

\n

\n
• График — прямая линия.
\n
• Она всегда проходит через точку (0;0), потому что при x = 0 получаем y = 0.
\n
• Если k > 0, прямая идёт вверх вправо; если k < 0, вниз вправо.
\n

\n

Для построения достаточно двух точек, например: (0;0) и (1; k).

", "latex": "\\textbf{1) Определение.}\\\\\n\\text{Прямая пропорциональность — функция вида } y=kx,\\ k\\ne 0.\\\\\n\\text{Число }k\\text{ — коэффициент прямой пропорциональности.}\\\\[6pt]\n\n\\textbf{2) Пример (железо).}\\\\\nV\\text{ — объём (см}^3\\text{), } m\\text{ — масса (г), } \\rho=7{,}8\\ \\text{г/см}^3.\\\\\n\\text{Связь массы и объёма: } m=\\rho V.\\\\\n\\Rightarrow\\ m=7{,}8V.\\\\\n\\text{Это } y=kx\\text{ при } x=V,\\ y=m,\\ k=7{,}8.\\\\[6pt]\n\n\\textbf{3) Свойство пропорции.}\\\\\nm_1=7{,}8V_1,\\quad m_2=7{,}8V_2.\\\\\n\\frac{m_1}{V_1}=7{,}8,\\quad \\frac{m_2}{V_2}=7{,}8\\ \\Rightarrow\\ \\frac{m_1}{V_1}=\\frac{m_2}{V_2}.\\\\\n\\Rightarrow\\ \\frac{V_1}{V_2}=\\frac{m_1}{m_2}.\\\\[6pt]\n\n\\textbf{4) График.}\\\\\n\\text{График } y=kx\\text{ — прямая, проходящая через }(0,0).\\\\\n\\text{При }k>0\\text{ возрастает, при }k<0\\text{ убывает.}", "steps": [ "Используем физическую формулу: масса равна плотности, умноженной на объём (m = ρV).", "Подставляем плотность железа ρ = 7,8 г/см³ и получаем m = 7,8V.", "Сравниваем с y = kx: роль x играет V, роль y — m, коэффициент k = 7,8.", "Берём два значения V₁ и V₂: m₁ = 7,8V₁, m₂ = 7,8V₂.", "Делим: m₁/V₁ = m₂/V₂ = 7,8, значит V₁/V₂ = m₁/m₂ — это и есть «прямая» пропорциональность.", "Делаем вывод о графике: это прямая через (0;0); знак k определяет направление." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителя

\n

Тут важно, чтобы ребёнок понял идею: если одна величина увеличилась в 2 раза, то и другая увеличится в 2 раза (и так для любого множителя). Это и есть прямая пропорциональность.

\n

\n
• Формула прямой пропорциональности: y = kx.
\n
• k — «сколько y приходится на 1 единицу x» (постоянное отношение y/x).
\n

\n

Пример из текста: плотность железа 7,8 г/см³ означает: в каждом 1 см³ железа масса 7,8 г. Поэтому при объёме V масса равна m = 7,8V.

\n

Как проверить, что это прямая пропорциональность: посчитать отношение m/V для разных V — оно всегда будет 7,8.

\n

График: прямая линия через начало координат (0;0). Для построения достаточно точек (0;0) и (1; k) или (0;0) и (10; 10k).

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителя.}\\\\\n\\text{Прямая пропорциональность: } y=kx.\\\\\n\\text{Смысл: если }x\\text{ увеличили в }n\\text{ раз, то }y\\text{ тоже увеличится в }n\\text{ раз.}\\\\\n\\text{Коэффициент }k=\\frac{y}{x}\\text{ (постоянное отношение).}\\\\[4pt]\n\\text{Железо: }\\rho=7{,}8\\ \\text{г/см}^3\\Rightarrow m=\\rho V=7{,}8V.\\\\\n\\text{Проверка: }\\frac{m}{V}=7{,}8\\text{ для любого }V\\ne 0.\\\\\n\\text{График }y=kx\\text{ — прямая через }(0,0)." }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX-пакет (готовые формулы)

\n

\n
• Определение: y = kx,\\; k\\ne 0
\n
• Железо: m=\\rho V, \\rho=7{,}8, значит m=7{,}8V
\n
• Постоянство отношения: \\frac{y}{x}=k
\n
• Для двух значений: \\frac{y_1}{x_1}=\\frac{y_2}{x_2}=k
\n
• Пропорция: \\frac{x_1}{x_2}=\\frac{y_1}{y_2}
\n
• График: прямая через (0,0)
\n

", "latex": "% Определение\ny=kx,\\quad k\\ne 0.\n\n% Пример (железо)\n\\rho=7{,}8\\ \\text{г/см}^3,\\qquad m=\\rho V=7{,}8V.\n\n% Свойства\n\\frac{y}{x}=k\\ (x\\ne 0).\n\n\\frac{y_1}{x_1}=\\frac{y_2}{x_2}=k\\quad (x_1\\ne 0,\\ x_2\\ne 0).\n\n\\frac{x_1}{x_2}=\\frac{y_1}{y_2}.\n\n% График\n\\text{График }y=kx\\text{ — прямая, проходящая через }(0,0)." } } ```