Решение задачи 68 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

292. Строим график по точкам (x; y): (0;14), (1;28), (2;41), (3;54), (4;66), (5;76), (6;85), (7;93), (8;98), (9;100), (10;100). Соединяем соседние точки отрезками (по условию — по данным измерений).

а) y(4)=66°C; y(5,5)≈80,5°C; y(9)=100°C; y(9,7)=100°C.

б) 41°C — через 2 мин; 60°C — примерно через 3,5 мин; 99°C — примерно через 8,5 мин.

в) Самое интенсивное нагревание: 0–1 мин (самый большой прирост температуры).

г) Закипела через 9 мин (достигла 100°C).

д) Кипела 1 мин = 60 с (с 9-й по 10-ю минуту).

е) 98°C — через 8 мин.

Маятник: период T зависит от длины l как T=2π√(l/g), значит график T(l) — возрастающая кривая вида √l (выпуклая вниз).

", "latex": "\\textbf{292. }\\text{Точки: }(0;14),(1;28),(2;41),(3;54),(4;66),(5;76),(6;85),(7;93),(8;98),(9;100),(10;100).\\\\\n\\textbf{а) }y(4)=66^\\circ C;\\ y(5{,}5)\\approx 80{,}5^\\circ C;\\ y(9)=100^\\circ C;\\ y(9{,}7)=100^\\circ C.\\\\\n\\textbf{б) }41^\\circ C\\Rightarrow 2\\ \\text{мин};\\ 60^\\circ C\\Rightarrow \\approx 3{,}5\\ \\text{мин};\\ 99^\\circ C\\Rightarrow \\approx 8{,}5\\ \\text{мин}.\\\\\n\\textbf{в) }\\text{Наиболее интенсивно: }0\\text{--}1\\ \\text{мин}.\\\\\n\\textbf{г) }100^\\circ C\\Rightarrow 9\\ \\text{мин}.\\\\\n\\textbf{д) }10-9=1\\ \\text{мин}=60\\ \\text{с}.\\\\\n\\textbf{е) }98^\\circ C\\Rightarrow 8\\ \\text{мин}.\\\\\n\\textbf{Маятник: }T(l)=2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}},\\ \\text{график }\\sim \\sqrt{l}.", "steps": [ "Нанести на координатную плоскость точки из таблицы (x — минуты, y — °C).", "Соединить соседние точки отрезками.", "Считать по графику значения y при заданных x и наоборот (при необходимости — линейной интерполяцией между соседними точками).", "Для маятника использовать зависимость T=2π√(l/g): при росте l период растёт как √l." ] }, "detailed": { "html": "

292. График нагревания воды

1) Построение графика

• Ось x — время (мин), масштаб: 1 см = 1 мин.
• Ось y — температура (°C), масштаб: 1 см = 10°C.
• Наносим точки: (0;14), (1;28), (2;41), (3;54), (4;66), (5;76), (6;85), (7;93), (8;98), (9;100), (10;100).
• Соединяем соседние точки отрезками (так обычно делают для табличных измерений).

2) Ответы по графику (с интерполяцией)

а) Температура в заданные моменты

• Через 4 мин: точка таблицы → 66°C.
• Через 5,5 мин: между (5;76) и (6;85). За 1 мин рост 9°C, за 0,5 мин рост 4,5°C → 76+4,5=80,5°C.
• Через 9 мин: точка таблицы → 100°C.
• Через 9,7 мин: между (9;100) и (10;100) температура не меняется → 100°C.

б) Когда температура стала равной заданной

• 41°C — это точка (2;41) → через 2 мин.
• 60°C между (3;54) и (4;66). За 1 мин рост 12°C. Нужно подняться от 54 до 60, то есть на 6°C: это половина от 12°C → 3,5 мин.
• 99°C между (8;98) и (9;100). За 1 мин рост 2°C. Нужно +1°C → это 0,5 мин → 8,5 мин.

в) Где нагревание интенсивнее всего

Сравним приросты за каждую минуту (наклон графика):

• 0–1: +14
• 1–2: +13
• 2–3: +13
• 3–4: +12
• 4–5: +10
• 5–6: +9
• 6–7: +8
• 7–8: +5
• 8–9: +2
• 9–10: +0

Максимальный прирост в интервале 0–1 мин, значит там нагревание было самым интенсивным.

г) Когда вода закипела

Кипение начинается при 100°C. По таблице 100°C впервые при x=9 → через 9 мин.

д) Сколько секунд кипела вода

Температура 100°C держится с 9 до 10 мин: 1 мин = 60 с.

е) Когда температура стала 98°C

98°C соответствует точке (8;98) → через 8 мин.

---

График зависимости периода маятника T от длины нити l

Для математического маятника (малые колебания):

T = 2π√(l/g), где g≈9,8 м/с².

• При увеличении l период T увеличивается.
• Зависимость корневая: график похож на √l — растёт, но всё медленнее (выпуклость вниз).
• Чтобы построить: выбрать несколько значений l (например 0,25; 1; 4 м), посчитать T и нанести точки.

", "latex": "\\section*{292. График нагревания воды}\n\\subsection*{Построение}\n\\begin{itemize}\n\\item x\\text{ (мин)}: 0,1,2,\\dots,10;\\quad y\\text{ (}^\\circ C\\text{)}.\n\\item Масштаб: 1\\,\\text{см}=1\\,\\text{мин},\\quad 1\\,\\text{см}=10^\\circ C.\n\\item Точки: (0;14),(1;28),(2;41),(3;54),(4;66),(5;76),(6;85),(7;93),(8;98),(9;100),(10;100).\n\\item Соединяем соседние точки отрезками.\n\\end{itemize}\n\n\\subsection*{а) Найти температуру}\n\\[\n y(4)=66.\n\\]\nМежду (5;76) и (6;85):\\ \\Delta y=9\\ \\text{за 1 мин}.\n\\[\n y(5{,}5)=76+0{,}5\\cdot 9=80{,}5.\n\\]\n\\[\n y(9)=100,\\qquad y(9{,}7)=100.\n\\]\n\n\\subsection*{б) Найти время}\n\\[\n 41^\\circ C\\Rightarrow x=2.\n\\]\n60 между 54 и 66:\n\\[\n x=3+\\frac{60-54}{66-54}=3+\\frac{6}{12}=3{,}5.\n\\]\n99 между 98 и 100:\n\\[\n x=8+\\frac{99-98}{100-98}=8+\\frac{1}{2}=8{,}5.\n\\]\n\n\\subsection*{в) Где интенсивнее}\nПриросты по минутам: 14,13,13,12,10,9,8,5,2,0. Максимум на 0--1 мин.\n\n\\subsection*{г) Когда закипела}\n\\[\n y=100\\Rightarrow x=9\\ \\text{мин}.\n\\]\n\n\\subsection*{д) Сколько секунд кипела}\n\\[\n 10-9=1\\ \\text{мин}=60\\ \\text{с}.\n\\]\n\n\\subsection*{е) Когда было }98^\\circ C\n\\[\n y=98\\Rightarrow x=8\\ \\text{мин}.\n\\]\n\n\\section*{Маятник}\n\\[\nT(l)=2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}}\\ (g\\approx 9{,}8\\,\\text{м/с}^2),\n\\]\nграфик возрастающий, вида \\(\\sqrt{l}\\) (выпуклый вниз).", "steps": [ "Построить оси с заданным масштабом и нанести все табличные точки.", "Соединить точки отрезками, получив кусочно-линейный график y(x).", "Для y(5,5), x при y=60 и т.п. выполнить линейную интерполяцию между ближайшими табличными точками.", "Интенсивность нагревания определить по наибольшему приросту температуры за 1 минуту (наибольший наклон).", "Момент закипания — первое достижение 100°C; длительность кипения — время, когда y=100 держится постоянной.", "Для маятника использовать формулу T=2π√(l/g) и отметить, что график растущий и корневой." ] }, "parent_guide": { "html": "

Как помочь ребёнку (7 класс) построить график по таблице

1. Подпишите оси: x — минуты, y — температура.
2. Соблюдайте масштаб: по x 1 клетка/см = 1 мин; по y 1 клетка/см = 10°C.
3. Поставьте точки из таблицы и соедините их отрезками.
4. Чтобы найти температуру в «нецелую» минуту (например, 5,5), смотрим между соседними точками и берём «пропорцию» (половина минуты — половина прироста).
5. Чтобы найти время при заданной температуре (например, 60°C), ищем на графике, где горизонталь y=60 пересекает линию, и читаем x; можно посчитать пропорцией между двумя ближайшими точками.
6. Где нагревание быстрее: там график круче (самый большой подъём за минуту).
7. Кипение: температура 100°C и дальше не растёт — это горизонтальный участок; его длина по времени и есть длительность кипения.

Ответы для проверки: y(4)=66; y(5,5)≈80,5; y(9)=100; y(9,7)=100; 41°C→2 мин; 60°C→≈3,5 мин; 99°C→≈8,5 мин; интенсивнее всего 0–1 мин; закипела через 9 мин; кипела 60 с; 98°C→8 мин.

Маятник: T растёт с l как √l (T=2π√(l/g)).

", "latex": "\\textbf{Памятка родителю.}\\newline\n1) Оси: x---минуты, y---температура. Масштаб: 1\\,\\text{см}=1\\,\\text{мин},\\ 1\\,\\text{см}=10^\\circ C.\\\\\n2) Нанести точки таблицы и соединить отрезками.\\\\\n3) \\textit{Нецелое время}: берём долю прироста между соседними минутами (пропорция).\\\\\n4) \\textit{Заданная температура}: ищем между какими точками она лежит и считаем долю по вертикали, получаем долю минуты.\\\\\n5) Интенсивнее там, где график круче (наибольший прирост за минуту).\\\\\n6) Кипение: участок при 100^\\circ C; его длина по времени = длительность кипения.\\\\\n\\textbf{Проверка: }66;\\ 80{,}5;\\ 100;\\ 100;\\ 2\\,\\text{мин};\\ 3{,}5\\,\\text{мин};\\ 8{,}5\\,\\text{мин};\\ 0\\text{--}1\\,\\text{мин};\\ 9\\,\\text{мин};\\ 60\\,\\text{с};\\ 8\\,\\text{мин}.\\\\\n\\textbf{Маятник: }T=2\\pi\\sqrt{l/g}\\Rightarrow T\\sim\\sqrt{l}." }, "latex_pack": { "html": "

Готовый LaTeX-блок (можно вставить в конспект/распечатку).

", "latex": "% --- 292 ---\n\\subsection*{292}\nДаны измерения температуры воды (каждую минуту):\n\\[\n\\begin{array}{c|ccccccccccc}\n x\\,(\\text{мин}) & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\\\\hline\n y\\,(^\\circ C) & 14&28&41&54&66&76&85&93&98&100&100\n\\end{array}\n\\]\nПостроить график по точкам и соединить соседние точки отрезками.\n\n\\paragraph{а)}\n\\[\n y(4)=66^\\circ C.\n\\]\nМежду (5;76) и (6;85):\n\\[\n y(5{,}5)=76+0{,}5\\cdot(85-76)=80{,}5^\\circ C.\n\\]\n\\[\n y(9)=100^\\circ C,\\qquad y(9{,}7)=100^\\circ C.\n\\]\n\n\\paragraph{б)}\n\\[\n 41^\\circ C\\Rightarrow x=2\\ \\text{мин}.\n\\]\n60 между 54 и 66:\n\\[\n x=3+\\frac{60-54}{66-54}=3{,}5\\ \\text{мин}.\n\\]\n99 между 98 и 100:\n\\[\n x=8+\\frac{99-98}{100-98}=8{,}5\\ \\text{мин}.\n\\]\n\n\\paragraph{в)}\nПриросты за минуту: $14,13,13,12,10,9,8,5,2,0$.\nМаксимум на интервале $0$--$1$ мин.\n\n\\paragraph{г)}\nВпервые $100^\\circ C$ при $x=9$ мин, значит вода закипела через 9 мин.\n\n\\paragraph{д)}\nТемпература $100^\\circ C$ держится с 9 до 10 мин:\n\\[\n1\\ \\text{мин}=60\\ \\text{с}.\n\\]\n\n\\paragraph{е)}\n$98^\\circ C$ при $x=8$ мин.\n\n% --- Маятник ---\n\\subsection*{Зависимость периода маятника от длины нити}\nДля математического маятника при малых колебаниях:\n\\[\nT(l)=2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}},\\qquad g\\approx 9{,}8\\,\\text{м/с}^2.\n\\]\nГрафик $T(l)$ возрастает и имеет вид корневой функции ($\\sim\\sqrt{l}$), выпуклый вниз.\n" } } ```