Подробное решение задачи из учебника Математика Макарычев Миндюк Нешков — Глава 1 Материал, § 1 Задачи, задание 50

224. Докажите тождество

а) Рассмотрим выражение: x(−1)+x(−2)+x(−3)+6x.

1. Умножим x на числа в скобках: x(−1)=−x, x(−2)=−2x, x(−3)=−3x.
2. Сложим: −x−2x−3x+6x=(−1−2−3+6)x=0·x=0.

Значит, выражение тождественно равно 0.

б) a(−5)+a·4+a(−3)+a·2.

1. Раскроем: a(−5)=−5a, a·4=4a, a(−3)=−3a, a·2=2a.
2. Сложим коэффициенты при a: (−5+4−3+2)a=(−2)a=−2a.

Тождественно равно −2a.

225. Найдите значение выражения

Дано: 8a−(4b+3a)−(4a−3b).

1. Снимем скобки (помним, что перед скобками «минус» меняет знаки):
   8a−4b−3a−4a+3b.
2. Приведём подобные: (8−3−4)a+(−4+3)b=1·a−1·b=a−b.

а) a=6,8; b=7,3 ⇒ a−b=6,8−7,3=−0,5.

б) a=−8,9; b=−9,9 ⇒ a−b=−8,9−(−9,9)=−8,9+9,9=1.

226. Докажите, что значение не зависит от a

а) a+(2a−(3a−5)).

1. Внутри: 2a−(3a−5)=2a−3a+5=−a+5.
2. Тогда всё выражение: a+(−a+5)=5.

Получили число 5 — оно не зависит от a.

б) a−(6a−(5a−8)).

1. Внутри: 6a−(5a−8)=6a−5a+8=a+8.
2. Тогда: a−(a+8)=a−a−8=−8.

Получили число −8 — не зависит от a.

227. Кратность 15

Пусть одно число кратно 3, тогда оно имеет вид 3k (k — целое). Другое кратно 5, значит имеет вид 5m (m — целое).

Их произведение: (3k)(5m)=15(km). Так как km — целое, произведение кратно 15.

228. Проверка корней уравнения произведения

(2x−3,8)(4,2+3x)=0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

• 2x−3,8=0 ⇒ 2x=3,8 ⇒ x=1,9.
• 4,2+3x=0 ⇒ 3x=−4,2 ⇒ x=−1,4.

Проверяем числа:

• 1,9 — да.
• 2 — нет.
• −1,4 — да.
• −3 — нет.

229. Какие числа являются корнями

а) x²+4x+3=0.

Разложим: x²+4x+3=(x+1)(x+3)=0 ⇒ x=−1 или x=−3. Из списка подходят −3 и −1.

б) x²+x=12 ⇒ x²+x−12=0.

Разложим: x²+x−12=(x+4)(x−3)=0 ⇒ x=−4 или x=3. Из списка подходят −4 и 3.

230. Имеет ли корни уравнение

а) 3x+7=(9+x)+2x ⇒ 3x+7=9+x+2x=3x+9 ⇒ 7=9 — неверно ⇒ корней нет.

б) 5x−1=4(x+2)−(9−x).

Правая часть: 4x+8−9+x=5x−1. Получаем тождество 5x−1=5x−1 ⇒ верно при любом x ⇒ бесконечно много корней.

в) x²=x ⇒ x²−x=0 ⇒ x(x−1)=0 ⇒ x=0 или x=1.

г) x+1=x−1 ⇒ 1=−1 — неверно ⇒ корней нет.

231. Почему нет корней

а) |x|=−1 невозможно, потому что |x|≥0 для любого x.

б) |x|+3=0 невозможно, потому что |x|+3≥3.

232. Решите уравнение с модулем

а) |x|=5 ⇒ x=5 или x=−5.

б) |a|−17=0 ⇒ |a|=17 ⇒ a=17 или a=−17.

в) 6−|b|=0 ⇒ |b|=6 ⇒ b=6 или b=−6.

233. Уравнение mx=5

• Если m≠0, делим на m: x=5/m — единственный корень.
• Если m=0, получаем 0·x=5 ⇒ 0=5 — решений нет.
• Бесконечно много решений бывает только у 0·x=0, здесь такого m нет.

234. Уравнение px=10 и заданный корень

Если корень равен x0, то p·x0=10 ⇒ p=10/x0.

• x0=−5 ⇒ p=−2.
• x0=1 ⇒ p=10.
• x0=20 ⇒ p=0,5.

235. Решите уравнение

а) 3,8x−(1,6−1,2x)=9,6+(3,7−5x)

1. Левая часть: 3,8x−1,6+1,2x=5x−1,6.
2. Правая часть: 9,6+3,7−5x=13,3−5x.
3. 5x−1,6=13,3−5x ⇒ 10x=14,9 ⇒ x=1,49.

б) (4,5y+9)−(6,2−3,1y)=7,2y+2,8

1. Левая часть: 4,5y+9−6,2+3,1y=7,6y+2,8.
2. 7,6y+2,8=7,2y+2,8 ⇒ 0,4y=0 ⇒ y=0.

в) 0,6m−1,4=(3,5m+1,7)−(2,7m−3,4)

1. Правая часть: 3,5m+1,7−2,7m+3,4=0,8m+5,1.
2. 0,6m−1,4=0,8m+5,1 ⇒ −0,2m=6,5 ⇒ m=−32,5.

г) (5,3a−0,8)−(1,6−4,7a)=2a−(a−0,3)

1. Левая часть: 5,3a−0,8−1,6+4,7a=10a−2,4.
2. Правая часть: 2a−a+0,3=a+0,3.
3. 10a−2,4=a+0,3 ⇒ 9a=2,7 ⇒ a=0,3.

236. Может ли быть положительный корень

а) (x+5)(x+6)+9=0 ⇒ x²+11x+30+9=x²+11x+39=0.

Дискриминант: D=11²−4·1·39=121−156=−35<0 ⇒ действительных корней нет, значит положительных тоже нет.

б) x²+3x+1=0.

Корни: x=(−3±√5)/2. Так как √5<3, оба корня отрицательные ⇒ положительного корня нет.