```json
{
"short": {
"html": "
203. Выражение: (m/(m−1))·((2a+1)/(3(a−4))).
а) при m=−1: (−1/(−2))·((2a+1)/(3(a−4)))=(2a+1)/(6(a−4)).
б) при a=3,5: (m/(m−1))·(8/(3·(−0,5)))=(m/(m−1))·(−16/3)=−16m/(3(m−1)).
\n
204. Если 2(a+b)=−8,1, то a+b=−4,05.
а) 3(a+b)=−12,15; б) −0,5(a+b)=2,025; в) 4a+4b=4(a+b)=−16,2; г) −5a−5b=−5(a+b)=20,25.
\n
205. Не имеет смысла, когда знаменатель равен 0:
а) 2x−4=0 ⇒ x=2; б) 4y+2=0 ⇒ y=−0,5; в) a−b=0 ⇒ a=b; г) a+b=0 ⇒ a=−b.
\n
206. а) P=16, стороны m и 8−m ⇒ S=m(8−m).
б) S=28, стороны a и 28/a ⇒ P=2(a+28/a).
в) t=s/(v1+v2).
г) t=s/(v2−v1) (при v2>v1).
\n
207. V=x(a−2x)(b−2x). При a=35,b=25,x=5: V=5·25·15=1875 см³. Возможные x: 0<x<12,5.
\n
208. а) число, кратное 11: 11n; б) кратное 21: 21n (n — целое).
",
"latex": "\\textbf{203. }\\frac{m}{m-1}\\cdot\\frac{2a+1}{3(a-4)}.\\;\\text{а) }m=-1:\\;\\frac{-1}{-2}\\cdot\\frac{2a+1}{3(a-4)}=\\frac{2a+1}{6(a-4)}.\\;\\text{б) }a=3.5:\\;\\frac{m}{m-1}\\cdot\\frac{8}{3\\cdot(-0.5)}=\\frac{m}{m-1}\\cdot\\left(-\\frac{16}{3}\\right)=-\\frac{16m}{3(m-1)}.\n\n\\textbf{204. }2(a+b)=-8.1\\Rightarrow a+b=-4.05.\\;\\text{а) }3(a+b)=-12.15;\\;\\text{б) }-0.5(a+b)=2.025;\\;\\text{в) }4(a+b)=-16.2;\\;\\text{г) }-5(a+b)=20.25.\n\n\\textbf{205. }\\text{а) }2x-4=0\\Rightarrow x=2;\\;\\text{б) }4y+2=0\\Rightarrow y=-0.5;\\;\\text{в) }a-b=0\\Rightarrow a=b;\\;\\text{г) }a+b=0\\Rightarrow a=-b.\n\n\\textbf{206. }\\text{а) }P=16,\\;m\\text{ и }8-m\\Rightarrow S=m(8-m).\\;\\text{б) }S=28,\\;a\\text{ и }\\frac{28}{a}\\Rightarrow P=2\\left(a+\\frac{28}{a}\\right).\\;\\text{в) }t=\\frac{s}{v_1+v_2}.\\;\\text{г) }t=\\frac{s}{v_2-v_1},\\;v_2>v_1.\n\n\\textbf{207. }V=x(a-2x)(b-2x).\\;a=35,b=25,x=5:\\;V=5\\cdot25\\cdot15=1875\\,\\text{см}^3.\\;0
203\nДано выражение: \\(\\dfrac{m}{m-1}\\cdot\\dfrac{2a+1}{3(a-4)}\\).
\n\n- а) При \\(m=-1\\):\n\\(\\dfrac{-1}{-1-1}=\\dfrac{-1}{-2}=\\dfrac12\\), значит\n\\(\\dfrac12\\cdot\\dfrac{2a+1}{3(a-4)}=\\dfrac{2a+1}{6(a-4)}\\).
\n- б) При \\(a=3{,}5\\):\n\\(2a+1=2\\cdot3{,}5+1=8\\),\n\\(a-4=3{,}5-4=-0{,}5\\).\nТогда\n\\(\\dfrac{2a+1}{3(a-4)}=\\dfrac{8}{3\\cdot(-0{,}5)}=\\dfrac{8}{-1{,}5}=-\\dfrac{16}{3}\\).\nИ всё выражение равно\n\\(\\dfrac{m}{m-1}\\cdot\\left(-\\dfrac{16}{3}\\right)=-\\dfrac{16m}{3(m-1)}\\).
\n
\n\n204
\nИзвестно: \\(2(a+b)=-8{,}1\\). Делим на 2:
\n\\(a+b=-4{,}05\\).
\nТеперь подставляем \\(a+b\\):
\n\n- а) \\(3(a+b)=3\\cdot(-4{,}05)=-12{,}15\\)
\n- б) \\(-0{,}5(a+b)=-0{,}5\\cdot(-4{,}05)=2{,}025\\)
\n- в) \\(4a+4b=4(a+b)=4\\cdot(-4{,}05)=-16{,}2\\)
\n- г) \\(-5a-5b=-5(a+b)=-5\\cdot(-4{,}05)=20{,}25\\)
\n
\n\n205
\nДробь не имеет смысла, если её знаменатель равен нулю.
\n\n- а) \\(\\dfrac{5}{2x-4}\\): \\(2x-4=0\\Rightarrow x=2\\).
\n- б) \\(\\dfrac{3}{4y+2}\\): \\(4y+2=0\\Rightarrow y=-\\dfrac12=-0{,}5\\).
\n- в) \\(\\dfrac{a}{a-b}\\): \\(a-b=0\\Rightarrow a=b\\).
\n- г) \\(\\dfrac{b}{a+b}\\): \\(a+b=0\\Rightarrow a=-b\\).
\n
\n\n206
\n\n- а) Периметр прямоугольника \\(P=16\\), стороны \\(m\\) и \\(n\\).\nТогда \\(2(m+n)=16\\Rightarrow m+n=8\\Rightarrow n=8-m\\).\nПлощадь: \\(S=mn=m(8-m)\\).
\n- б) Площадь \\(S=28\\), одна сторона \\(a\\), другая \\(\\frac{28}{a}\\) (при \\(a\\neq0\\)).\nПериметр: \\(P=2\\left(a+\\frac{28}{a}\\right)\\).
\n- в) Два автомобиля едут навстречу: их суммарная скорость \\(v_1+v_2\\).\nВремя встречи: \\(t=\\dfrac{s}{v_1+v_2}\\).
\n- г) Мотоциклист догоняет велосипедиста: скорость сближения \\(v_2-v_1\\) (если \\(v_2>v_1\\)).\nВремя: \\(t=\\dfrac{s}{v_2-v_1}\\).
\n
\n\n207
\nПосле вырезания квадратов со стороной \\(x\\) высота коробки равна \\(x\\), а размеры дна: \\(a-2x\\) и \\(b-2x\\).
\nФормула объёма:
\n\\(V=x(a-2x)(b-2x)\\).
\nПодставим \\(a=35\\), \\(b=25\\), \\(x=5\\):
\n\\(V=5(35-10)(25-10)=5\\cdot25\\cdot15=1875\\text{ см}^3\\).
\nКакие \\(x\\) возможны: нужно, чтобы все размеры были положительными:
\n\\(x>0\\), \\(a-2x>0\\Rightarrow x<17{,}5\\), \\(b-2x>0\\Rightarrow x<12{,}5\\).
\nИтого: \\(0<x<12{,}5\\).
\n\n208
\nЧисло, кратное данному, можно записать как произведение этого числа на целое \\(n\\).
\n\n- а) кратное 11: \\(11n\\)
\n- б) кратное 21: \\(21n\\)
\n
",
"latex": "\\textbf{203. }\\frac{m}{m-1}\\cdot\\frac{2a+1}{3(a-4)}.\n\n\\text{а) }m=-1:\\quad \\frac{m}{m-1}=\\frac{-1}{-2}=\\frac12,\\quad \\Rightarrow \\frac12\\cdot\\frac{2a+1}{3(a-4)}=\\frac{2a+1}{6(a-4)}.\n\n\\text{б) }a=3.5:\\quad 2a+1=8,\\; a-4=-0.5.\n\\quad \\frac{2a+1}{3(a-4)}=\\frac{8}{3\\cdot(-0.5)}=\\frac{8}{-1.5}=-\\frac{16}{3}.\n\\quad \\Rightarrow \\frac{m}{m-1}\\cdot\\left(-\\frac{16}{3}\\right)=-\\frac{16m}{3(m-1)}.\n\n\\textbf{204. }2(a+b)=-8.1\\Rightarrow a+b=-4.05.\n\\begin{aligned}\n\\text{а) }&3(a+b)=3\\cdot(-4.05)=-12.15,\\\\\n\\text{б) }&-0.5(a+b)=-0.5\\cdot(-4.05)=2.025,\\\\\n\\text{в) }&4a+4b=4(a+b)=4\\cdot(-4.05)=-16.2,\\\\\n\\text{г) }&-5a-5b=-5(a+b)=-5\\cdot(-4.05)=20.25.\n\\end{aligned}\n\n\\textbf{205. }\\text{Дробь не определена при нулевом знаменателе:}\n\\;\\text{а) }2x-4=0\\Rightarrow x=2;\\;\n\\text{б) }4y+2=0\\Rightarrow y=-\\frac12;\\;\n\\text{в) }a-b=0\\Rightarrow a=b;\\;\n\\text{г) }a+b=0\\Rightarrow a=-b.\n\n\\textbf{206. }\n\\text{а) }2(m+n)=16\\Rightarrow n=8-m,\\; S=mn=m(8-m).\n\n\\text{б) }S=28,\\; ab=28\\Rightarrow b=\\frac{28}{a},\\; P=2\\left(a+\\frac{28}{a}\\right).\n\n\\text{в) }t=\\frac{s}{v_1+v_2}.\n\n\\text{г) }t=\\frac{s}{v_2-v_1},\\; v_2>v_1.\n\n\\textbf{207. }V=x(a-2x)(b-2x).\n\\;a=35,b=25,x=5:\\;V=5(35-10)(25-10)=5\\cdot25\\cdot15=1875\\,\\text{см}^3.\n\\;0Памятка для родителей\n\n- 203: это произведение двух дробей. Ребёнок должен аккуратно подставить значения и следить за знаками (особенно при a=3,5, где a−4 отрицательно).
\n- 204: ключевой шаг — сначала найти сумму a+b из 2(a+b)=−8,1. Дальше все пункты — просто умножение этой суммы на число. Обратите внимание: 4a+4b = 4(a+b), −5a−5b = −5(a+b).
\n- 205: «не имеет смысла» означает «деление на ноль». Поэтому в каждом пункте решаем уравнение: знаменатель = 0.
\n- 206: \n
\n - прямоугольник: P=2(a+b), S=ab;
\n - движение: время = расстояние / скорость сближения (навстречу: v1+v2; догоняет: v2−v1).
\n
\n \n- 207: после вырезания квадратов высота коробки = x, размеры дна уменьшаются на 2x: (a−2x) и (b−2x). Допустимые x — чтобы все размеры были положительными.
\n- 208: «кратно» значит «делится без остатка»: формула k·n, где n — целое.
\n
",
"latex": "\\textbf{Памятка для родителей}\n\\begin{itemize}\n\\item \\textbf{203:} произведение дробей; при подстановке следить за знаками (при $a=3.5$ знаменатель отрицателен).\n\\item \\textbf{204:} сначала найти $a+b$ из $2(a+b)=-8.1$; далее умножать $a+b$ на коэффициенты. Использовать тождества $4a+4b=4(a+b)$, $-5a-5b=-5(a+b)$.\n\\item \\textbf{205:} «не имеет смысла» $\\Leftrightarrow$ знаменатель равен нулю.\n\\item \\textbf{206:} прямоугольник: $P=2(a+b)$, $S=ab$; движение: $t=\\frac{s}{v_{\\text{сбл}}}$, где навстречу $v_{\\text{сбл}}=v_1+v_2$, догоняет $v_{\\text{сбл}}=v_2-v_1$.\n\\item \\textbf{207:} $V=x(a-2x)(b-2x)$; допустимые $x$: $x>0$, $a-2x>0$, $b-2x>0$.\n\\item \\textbf{208:} кратное $k$ имеет вид $k\\cdot n$, $n\\in\\mathbb{Z}$.\n\\end{itemize}"
},
"latex_pack": {
"html": "Готовый LaTeX-блок для вставки в конспект/решебник — см. поле latex.
",
"latex": "% ===== Решения №203–208 (7 класс) =====\n\\subsection*{203}\n\\[\n\\frac{m}{m-1}\\cdot\\frac{2a+1}{3(a-4)}.\n\\]\n\\textbf{а)} $m=-1$:\n\\[\n\\frac{-1}{-2}\\cdot\\frac{2a+1}{3(a-4)}=\\frac{2a+1}{6(a-4)}.\n\\]\n\\textbf{б)} $a=3.5$:\n\\[\n2a+1=8,\\quad a-4=-0.5,\\quad \\frac{2a+1}{3(a-4)}=\\frac{8}{3\\cdot(-0.5)}=-\\frac{16}{3},\n\\]\n\\[\n\\Rightarrow \\frac{m}{m-1}\\cdot\\left(-\\frac{16}{3}\\right)=-\\frac{16m}{3(m-1)}.\n\\]\n\n\\subsection*{204}\n\\[\n2(a+b)=-8.1\\Rightarrow a+b=-4.05.\n\\]\n\\[\n\\textbf{а) }3(a+b)=-12.15;\\qquad\n\\textbf{б) }-0.5(a+b)=2.025;\n\\]\n\\[\n\\textbf{в) }4a+4b=4(a+b)=-16.2;\\qquad\n\\textbf{г) }-5a-5b=-5(a+b)=20.25.\n\\]\n\n\\subsection*{205}\n\\[\n\\textbf{а) }\\frac{5}{2x-4}\\text{ не определено при }2x-4=0\\Rightarrow x=2.\n\\]\n\\[\n\\textbf{б) }\\frac{3}{4y+2}\\text{ не определено при }4y+2=0\\Rightarrow y=-\\frac12.\n\\]\n\\[\n\\textbf{в) }\\frac{a}{a-b}\\text{ не определено при }a-b=0\\Rightarrow a=b.\n\\]\n\\[\n\\textbf{г) }\\frac{b}{a+b}\\text{ не определено при }a+b=0\\Rightarrow a=-b.\n\\]\n\n\\subsection*{206}\n\\textbf{а)} $P=16$, стороны $m$ и $n$:\n\\[\n2(m+n)=16\\Rightarrow n=8-m,\\qquad S=mn=m(8-m).\n\\]\n\\textbf{б)} $S=28$, стороны $a$ и $\\frac{28}{a}$:\n\\[\nP=2\\left(a+\\frac{28}{a}\\right),\\quad a\\ne 0.\n\\]\n\\textbf{в)} Навстречу:\n\\[\n t=\\frac{s}{v_1+v_2}.\n\\]\n\\textbf{г)} Догоняет:\n\\[\n t=\\frac{s}{v_2-v_1},\\quad v_2>v_1.\n\\]\n\n\\subsection*{207}\n\\[\nV=x(a-2x)(b-2x).\n\\]\nПри $a=35$, $b=25$, $x=5$:\n\\[\nV=5(35-10)(25-10)=5\\cdot25\\cdot15=1875\\,\\text{см}^3.\n\\]\nДопустимые $x$:\n\\[\n0