Решение задачи 43 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

1) Корень уравнения

Корень уравнения — это значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Проверим число 7:

• 6x=42: 6·7=42 — верно, значит 7 — корень.
• 0x=11: 0·7=0≠11 — не корень (и вообще решений нет).
• (16−2·8)x=0: (16−16)x=0 ⇒ 0·x=0 — верно при любом x, значит 7 подходит (и вообще бесконечно много решений).

2) Что значит решить уравнение

Решить уравнение — значит найти все его корни (или доказать, что корней нет).

• 6x=−12 ⇒ x=−2.
• x−2x+6=0 ⇒ −x+6=0 ⇒ x=6.
• 5x−4x=6+x ⇒ x=6+x ⇒ 0=6 — решений нет.

3) Равносильные уравнения

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством решений.

Свойства (кратко): если к обеим частям прибавить/вычесть одно и то же выражение или умножить/разделить на одно и то же ненулевое число, получим равносильное уравнение.

Примеры равносильных:

• 5x−1=3 ⇔ 5x=4.
• 0,2x=1,1 ⇔ 2x=11 (умножили на 10).
• 3x−4x+6=0 ⇔ −x+6=0 ⇔ x=6.

4) Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение вида ax+b=0, где a и b — числа, a≠0.

Примеры: 2x−5=0; −3x+7=0; 0,5x+1=0.

5) Когда ax=b имеет решения

• Если a≠0 — единственный корень: x=b/a. Пример: 2x=6 ⇒ x=3.
• Если a=0 и b=0 — бесконечно много корней. Пример: 0x=0.
• Если a=0 и b≠0 — корней нет. Пример: 0x=5.

", "latex": "\\textbf{1) Корень уравнения.}\\;\\text{Корень — значение переменной, при котором уравнение верно.}\\\\\n\\text{Проверим }x=7:\\\\\n6x=42:\\;6\\cdot 7=42\\Rightarrow 7\\text{ — корень.}\\\\\n0x=11:\\;0\\cdot 7=0\\ne 11\\Rightarrow 7\\text{ — не корень (решений нет).}\\\\\n(16-2\\cdot 8)x=0:\\;(16-16)x=0\\Rightarrow 0\\cdot x=0\\Rightarrow x\\text{ — любое, в т.ч. }7.\\\\[4pt]\n\\textbf{2) Решить уравнение — найти все корни (или доказать, что их нет).}\\\\\n6x=-12\\Rightarrow x=-2.\\\\\nx-2x+6=0\\Rightarrow -x+6=0\\Rightarrow x=6.\\\\\n5x-4x=6+x\\Rightarrow x=6+x\\Rightarrow 0=6\\Rightarrow \\varnothing.\\\\[4pt]\n\\textbf{3) Равносильные уравнения — с одинаковым множеством решений.}\\\\\n\\text{Свойства: прибавление/вычитание одного и того же выражения; умножение/деление на одно и то же }\\ne 0\\text{ число.}\\\\\n5x-1=3\\Leftrightarrow 5x=4.\\\\\n0{,}2x=1{,}1\\Leftrightarrow 2x=11.\\\\\n3x-4x+6=0\\Leftrightarrow -x+6=0\\Leftrightarrow x=6.\\\\[4pt]\n\\textbf{4) Линейное уравнение: }ax+b=0,\\;a\\ne 0.\\;\\text{Примеры: }2x-5=0,\\;-3x+7=0.\\\\[4pt]\n\\textbf{5) }ax=b:\\;\\begin{cases}\n a\\ne 0 &\\Rightarrow x=\\dfrac{b}{a}\\;\\text{(1 корень)};\\\\\n a=0,\\;b=0 &\\Rightarrow \\text{беск. много корней};\\\\\n a=0,\\;b\\ne 0 &\\Rightarrow \\text{корней нет.}\n\\end{cases}", "steps": [ "Определили корень уравнения как значение, делающее равенство верным.", "Подставили x=7 в каждое уравнение из п.1 и сделали вывод.", "Сформулировали, что «решить уравнение» — найти все корни или доказать их отсутствие.", "Решили три уравнения из п.2, упростив выражения и проверив противоречие 0=6.", "Дали определение равносильных уравнений и перечислили основные преобразования, сохраняющие решения.", "Привели равносильные уравнения для трёх примеров из п.3.", "Дали определение линейного уравнения ax+b=0 (a≠0) и примеры.", "Разобрали случаи для ax=b при a≠0, a=0,b=0 и a=0,b≠0." ] }, "detailed": { "html": "

1) Определение корня. Проверка числа 7

Определение. Корнем (решением) уравнения называют такое значение переменной, при подстановке которого левая и правая части становятся равными (получается верное равенство).

а) 6x=42. Подставим x=7: 6·7=42. Равенство верное ⇒ 7 — корень.

б) 0x=11. Подставим x=7: 0·7=0, а справа 11, то есть 0≠11 ⇒ 7 не корень. Более того, уравнение 0x=11 не имеет решений, потому что левая часть всегда 0.

в) (16−2·8)x=0. Сначала упростим коэффициент: 16−2·8=16−16=0. Тогда уравнение превращается в 0·x=0, а это верно при любом x ⇒ решений бесконечно много, и x=7 тоже подходит.

\n

2) Что значит решить уравнение. Решения

Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых уравнение верно, или установить, что таких значений нет.

а) 6x=−12. Делим обе части на 6 (6≠0): x=−12/6=−2.

б) x−2x+6=0. Приведём подобные: (1−2)x+6=0 ⇒ −x+6=0 ⇒ −x=−6 ⇒ x=6.

в) 5x−4x=6+x. Слева: (5−4)x=x. Получаем x=6+x. Вычтем x из обеих частей: 0=6 — неверное равенство ⇒ решений нет.

\n

3) Равносильные уравнения. Свойства. Примеры

Равносильные уравнения — это уравнения, у которых совпадает множество решений (одни и те же корни).

Свойства (преобразования, сохраняющие равносильность):

• Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же выражение, получим равносильное уравнение.
• Если обе части умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, получим равносильное уравнение.
• Можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые — это не меняет множество решений.

Примеры равносильных уравнений:

• 5x−1=3 ⇔ (прибавим 1 к обеим частям) 5x=4.
• 0,2x=1,1 ⇔ (умножим на 10) 2x=11.
• 3x−4x+6=0 ⇔ (приведём подобные) −x+6=0 ⇔ x=6.

\n

4) Линейное уравнение с одной переменной

Определение. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ax+b=0, где a и b — числа, причём a≠0.

Примеры: 7x−3=0; −2x+5=0; 0,4x+9=0.

\n

5) Сколько решений у ax=b

Рассмотрим уравнение ax=b.

• a≠0: можно разделить на a ⇒ единственный корень x=b/a. Пример: 3x=12 ⇒ x=4.
• a=0, b=0: получаем 0x=0, верно при любом x ⇒ бесконечно много корней. Пример: 0x=0.
• a=0, b≠0: получаем 0x=b, то есть 0=b, что неверно ⇒ корней нет. Пример: 0x=7.

", "latex": "\\section*{1) Определение корня. Проверка числа 7}\n\\textbf{Корень уравнения} — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство.\\\\\n\\textbf{а)}\\;6x=42.\\;x=7:\\;6\\cdot 7=42\\Rightarrow 7\\text{ — корень.}\\\\\n\\textbf{б)}\\;0x=11.\\;x=7:\\;0\\cdot 7=0\\ne 11\\Rightarrow 7\\text{ — не корень.}\\;\\text{Причём }0x=11\\text{ не имеет решений.}\\\\\n\\textbf{в)}\\;(16-2\\cdot 8)x=0.\\;16-2\\cdot 8=16-16=0\\Rightarrow 0\\cdot x=0.\\\\\n\\text{Это верно при любом }x\\Rightarrow \\text{решений бесконечно много, }7\\text{ подходит.}\n\n\\section*{2) Что значит решить уравнение. Решения}\n\\textbf{Решить уравнение} — найти все его корни или доказать, что корней нет.\\\\\n\\textbf{а)}\\;6x=-12\\Rightarrow x=\\frac{-12}{6}=-2.\\\\\n\\textbf{б)}\\;x-2x+6=0\\Rightarrow (1-2)x+6=0\\Rightarrow -x+6=0\\Rightarrow x=6.\\\\\n\\textbf{в)}\\;5x-4x=6+x\\Rightarrow x=6+x\\Rightarrow 0=6\\Rightarrow \\text{решений нет }(\\varnothing).\n\n\\section*{3) Равносильные уравнения. Свойства. Примеры}\n\\textbf{Равносильные уравнения} — уравнения с одинаковым множеством решений.\\\\\n\\textbf{Свойства:}\\\\\n1)\\;\\text{Если к обеим частям прибавить/вычесть одно и то же выражение, получим равносильное уравнение.}\\\\\n2)\\;\\text{Если обе части умножить/разделить на одно и то же число }\\ne 0,\\text{ получим равносильное уравнение.}\\\\\n3)\\;\\text{Раскрытие скобок и приведение подобных сохраняют решения.}\\\\\n\\textbf{Примеры:}\\\\\n5x-1=3\\Leftrightarrow 5x=4.\\\\\n0{,}2x=1{,}1\\Leftrightarrow 2x=11.\\\\\n3x-4x+6=0\\Leftrightarrow -x+6=0\\Leftrightarrow x=6.\n\n\\section*{4) Линейное уравнение с одной переменной}\n\\textbf{Линейное уравнение: }ax+b=0,\\;a\\ne 0.\\\\\n\\text{Примеры: }7x-3=0;\\;-2x+5=0;\\;0{,}4x+9=0.\n\n\\section*{5) Сколько решений у }ax=b\n\\begin{itemize}\n\\item \\textbf{Если }a\\ne 0,\\text{ то }x=\\dfrac{b}{a}\\text{ — единственный корень. Пример: }3x=12\\Rightarrow x=4.\n\\item \\textbf{Если }a=0,\\;b=0,\\text{ то }0x=0\\text{ верно при любом }x\\Rightarrow \\text{бесконечно много корней.}\n\\item \\textbf{Если }a=0,\\;b\\ne 0,\\text{ то }0x=b\\Rightarrow 0=b\\text{ — неверно }\\Rightarrow \\text{корней нет.}\n\\end{itemize}", "steps": [ "Дали определение корня уравнения через проверку подстановкой.", "Проверили x=7 в 6x=42 и получили верное равенство.", "Проверили x=7 в 0x=11 и получили неверное равенство; сделали вывод, что решений нет вообще.", "Упростили (16−2·8)x=0 до 0·x=0 и установили, что подходит любое x.", "Сформулировали смысл «решить уравнение» как нахождение всех корней или доказательство отсутствия.", "Решили 6x=−12 делением на ненулевой коэффициент.", "Решили x−2x+6=0 приведением подобных и переносом.", "Решили 5x−4x=6+x, получили противоречие 0=6 и сделали вывод «решений нет».", "Определили равносильные уравнения как имеющие одинаковые множества решений.", "Перечислили преобразования, сохраняющие равносильность: +/− одно и то же; ×/÷ на ненулевое; упрощение выражений.", "Построили примеры равносильных уравнений для трёх данных.", "Дали определение линейного уравнения ax+b=0 (a≠0) и привели примеры.", "Разобрали три случая для ax=b в зависимости от a и b и привели примеры." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителей (как объяснить ребёнку)

1. Корень уравнения — это число, которое «подходит»: подставили вместо x и получили верное равенство.
2. Проверка корня: просто подставляем и считаем обе части.
3. Решить уравнение — найти все подходящие значения x (или сказать, что их нет).
4. Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми решениями. Чтобы получить равносильное, можно:
   • прибавить/вычесть одно и то же с обеих сторон;
   • умножить/разделить обе стороны на одно и то же число, но не на 0;
   • раскрыть скобки, привести подобные.
5. Линейное уравнение (7 класс): ax+b=0, где a≠0.
6. Уравнение ax=b:
   • a≠0 ⇒ один корень x=b/a;
   • a=0, b=0 ⇒ бесконечно много корней;
   • a=0, b≠0 ⇒ корней нет.

", "latex": "\\section*{Памятка для родителей}\n\\begin{enumerate}\n\\item \\textbf{Корень уравнения} — число, которое при подстановке вместо $x$ делает равенство верным.\n\\item \\textbf{Проверка корня}: подставить значение и вычислить левую и правую части.\n\\item \\textbf{Решить уравнение} — найти все значения $x$, при которых уравнение верно (или доказать, что решений нет).\n\\item \\textbf{Равносильные уравнения} — с одинаковым множеством решений. Равносильность сохраняют:\n \\begin{itemize}\n \\item прибавление/вычитание одного и того же выражения к обеим частям;\n \\item умножение/деление обеих частей на одно и то же число, но не на $0$;\n \\item раскрытие скобок, приведение подобных.\n \\end{itemize}\n\\item \\textbf{Линейное уравнение}: $ax+b=0$, где $a\\ne 0$.\n\\item \\textbf{Уравнение $ax=b$}:\n \\[a\\ne 0\\Rightarrow x=\\frac{b}{a};\\quad a=0,b=0\\Rightarrow \\text{беск. много решений};\\quad a=0,b\\ne 0\\Rightarrow \\text{решений нет.}\\]\n\\end{enumerate}" }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX-пакет: готовый текст для вставки в документ.

", "latex": "% --- Готовый LaTeX-текст ---\n\\subsection*{Контрольные вопросы и задания (7 класс)}\n\n\\paragraph{1. Определение корня.}\nКорень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.\nПроверим $x=7$:\n\\[\n6x=42:\\;6\\cdot 7=42\\Rightarrow 7\\text{ — корень};\\qquad\n0x=11:\\;0\\cdot 7=0\\ne 11\\Rightarrow 7\\text{ — не корень};\n\\]\n\\[\n(16-2\\cdot 8)x=0:\\;16-16=0\\Rightarrow 0\\cdot x=0\\Rightarrow x\\text{ — любое (в т.ч. }7).\n\\]\n\n\\paragraph{2. Что значит решить уравнение?}\nРешить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет.\n\\[\n6x=-12\\Rightarrow x=-2;\\qquad\nx-2x+6=0\\Rightarrow -x+6=0\\Rightarrow x=6;\n\\]\n\\[\n5x-4x=6+x\\Rightarrow x=6+x\\Rightarrow 0=6\\Rightarrow \\text{решений нет}.\n\\]\n\n\\paragraph{3. Равносильные уравнения.}\nРавносильные уравнения — уравнения с одинаковым множеством решений.\nСвойства: если к обеим частям прибавить (вычесть) одно и то же выражение или умножить (разделить) обе части на одно и то же число, отличное от нуля, получим равносильное уравнение.\nПримеры:\n\\[\n5x-1=3\\Leftrightarrow 5x=4;\\qquad\n0{,}2x=1{,}1\\Leftrightarrow 2x=11;\\qquad\n3x-4x+6=0\\Leftrightarrow -x+6=0\\Leftrightarrow x=6.\n\\]\n\n\\paragraph{4. Линейное уравнение.}\nЛинейное уравнение с одной переменной: $ax+b=0$, где $a\\ne 0$.\nПримеры: $2x-5=0$, $-3x+7=0$, $0{,}5x+1=0$.\n\n\\paragraph{5. Сколько решений у $ax=b$?}\n\\[\n\\begin{cases}\n a\\ne 0 &\\Rightarrow x=\\dfrac{b}{a}\\;\\text{(единственный корень)};\\\\\n a=0,\\;b=0 &\\Rightarrow \\text{бесконечно много корней};\\\\\n a=0,\\;b\\ne 0 &\\Rightarrow \\text{корней нет}.\n\\end{cases}\n\\]\n% --- конец ---" } } ```