1) Определение корня. Проверка числа 7
Определение. Корнем (решением) уравнения называют такое значение переменной, при подстановке которого левая и правая части становятся равными (получается верное равенство).
а) 6x=42. Подставим x=7: 6·7=42. Равенство верное ⇒ 7 — корень.
б) 0x=11. Подставим x=7: 0·7=0, а справа 11, то есть 0≠11 ⇒ 7 не корень. Более того, уравнение 0x=11 не имеет решений, потому что левая часть всегда 0.
в) (16−2·8)x=0. Сначала упростим коэффициент: 16−2·8=16−16=0. Тогда уравнение превращается в 0·x=0, а это верно при любом x ⇒ решений бесконечно много, и x=7 тоже подходит.
2) Что значит решить уравнение. Решения
Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых уравнение верно, или установить, что таких значений нет.
а) 6x=−12. Делим обе части на 6 (6≠0): x=−12/6=−2.
б) x−2x+6=0. Приведём подобные: (1−2)x+6=0 ⇒ −x+6=0 ⇒ −x=−6 ⇒ x=6.
в) 5x−4x=6+x. Слева: (5−4)x=x. Получаем x=6+x. Вычтем x из обеих частей: 0=6 — неверное равенство ⇒ решений нет.
3) Равносильные уравнения. Свойства. Примеры
Равносильные уравнения — это уравнения, у которых совпадает множество решений (одни и те же корни).
Свойства (преобразования, сохраняющие равносильность):
- Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же выражение, получим равносильное уравнение.
- Если обе части умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, получим равносильное уравнение.
- Можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые — это не меняет множество решений.
Примеры равносильных уравнений:
- 5x−1=3 ⇔ (прибавим 1 к обеим частям) 5x=4.
- 0,2x=1,1 ⇔ (умножим на 10) 2x=11.
- 3x−4x+6=0 ⇔ (приведём подобные) −x+6=0 ⇔ x=6.
4) Линейное уравнение с одной переменной
Определение. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ax+b=0, где a и b — числа, причём a≠0.
Примеры: 7x−3=0; −2x+5=0; 0,4x+9=0.
5) Сколько решений у ax=b
Рассмотрим уравнение ax=b.
- a≠0: можно разделить на a ⇒ единственный корень x=b/a. Пример: 3x=12 ⇒ x=4.
- a=0, b=0: получаем 0x=0, верно при любом x ⇒ бесконечно много корней. Пример: 0x=0.
- a=0, b≠0: получаем 0x=b, то есть 0=b, что неверно ⇒ корней нет. Пример: 0x=7.
Шаг 1
Дали определение корня уравнения через проверку подстановкой.
Шаг 2
Проверили x=7 в 6x=42 и получили верное равенство.
Шаг 3
Проверили x=7 в 0x=11 и получили неверное равенство; сделали вывод, что решений нет вообще.
Шаг 4
Упростили (16−2·8)x=0 до 0·x=0 и установили, что подходит любое x.
Шаг 5
Сформулировали смысл «решить уравнение» как нахождение всех корней или доказательство отсутствия.
Шаг 6
Решили 6x=−12 делением на ненулевой коэффициент.
Шаг 7
Решили x−2x+6=0 приведением подобных и переносом.
Шаг 8
Решили 5x−4x=6+x, получили противоречие 0=6 и сделали вывод «решений нет».
Шаг 9
Определили равносильные уравнения как имеющие одинаковые множества решений.
Шаг 10
Перечислили преобразования, сохраняющие равносильность: +/− одно и то же; ×/÷ на ненулевое; упрощение выражений.
Шаг 11
Построили примеры равносильных уравнений для трёх данных.
Шаг 12
Дали определение линейного уравнения ax+b=0 (a≠0) и привели примеры.
Шаг 13
Разобрали три случая для ax=b в зависимости от a и b и привели примеры.
