Решение задачи 41 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

169. Пусть прибыль в I квартале = x, во II = 1,1x. Тогда x+1,1x=126000 ⇒ 2,1x=126000 ⇒ x=60000 (р.).

\n

170. Пусть 1-я школа = x, 2-я = x+6, 3-я = x+16. Тогда 3x+22=70 ⇒ x=16. Ответ: 16; 22; 32.

\n

171. Пусть на свитер x, на шапку x/5, на шарф x/5−5. Тогда x+x/5+(x/5−5)=555 ⇒ 7x/5=560 ⇒ x=400. Ответ: свитер 400 г, шапка 80 г, шарф 75 г.

\n

172. Пусть на 2-й полке x, тогда на 1-й x−8, на 3-й x−13. Сумма 3x−21=158 ⇒ x=179/3 (не целое). Нельзя.

\n

173. Пусть в 1-м ящике x, в 3-м x+9, во 2-м (x+9)−4=x+5. Сумма 3x+14=59 ⇒ x=15. Ответ: 15; 20; 24.

\n

174. Пусть на 2-м участке x, на 1-м 5x. После пересадки: 5x−22=x+22 ⇒ 4x=44 ⇒ x=11. Ответ: было 55 и 11.

\n

175. Пусть собственная скорость v. Тогда 9(v+2)=11(v−2) ⇒ 9v+18=11v−22 ⇒ v=20 км/ч.

\n

176. Пусть общая скорость v. Тогда 2(v+10)=3(v−10) ⇒ 2v+20=3v−30 ⇒ v=50 км/ч.

\n

177. Отрыв за 1 день: 40 вёрст. Сближение в день: 45−40=5. Время догоняния: 40/5=8 дней (после выхода второго).

\n

178. Пусть плотников x, маляров 2,5x. После изменений: 2,5x+4 = 4(x−2). Решение: x=8, маляров 20.

", "latex": "\\textbf{169. }x+1.1x=126000\\Rightarrow 2.1x=126000\\Rightarrow x=60000.\\\\\n\\textbf{170. }x+(x+6)+(x+16)=70\\Rightarrow 3x+22=70\\Rightarrow x=16\\Rightarrow (16,22,32).\\\\\n\\textbf{171. }x+\\frac{x}{5}+\\left(\\frac{x}{5}-5\\right)=555\\Rightarrow \\frac{7x}{5}=560\\Rightarrow x=400\\Rightarrow (400,80,75).\\\\\n\\textbf{172. }(x-8)+x+(x-13)=158\\Rightarrow 3x-21=158\\Rightarrow x=\\frac{179}{3}\\notin\\mathbb Z\\Rightarrow \\text{нельзя}.\\\\\n\\textbf{173. }x+(x+5)+(x+9)=59\\Rightarrow 3x+14=59\\Rightarrow x=15\\Rightarrow (15,20,24).\\\\\n\\textbf{174. }5x-22=x+22\\Rightarrow 4x=44\\Rightarrow x=11\\Rightarrow (55,11).\\\\\n\\textbf{175. }9(v+2)=11(v-2)\\Rightarrow v=20.\\\\\n\\textbf{176. }2(v+10)=3(v-10)\\Rightarrow v=50.\\\\\n\\textbf{177. }\\frac{40}{45-40}=8.\\\\\n\\textbf{178. }2.5x+4=4(x-2)\\Rightarrow x=8,\\;2.5x=20.", "steps": [ "169: x + 1,1x = 126000 → x = 60000.", "170: x, x+6, x+16; 3x+22=70 → x=16 → 16,22,32.", "171: x, x/5, x/5−5; x+x/5+(x/5−5)=555 → x=400 → 400,80,75.", "172: x−8, x, x−13; 3x−21=158 → x=179/3 не целое → нельзя.", "173: x, x+5, x+9; 3x+14=59 → x=15 → 15,20,24.", "174: 5x и x; 5x−22=x+22 → x=11 → 55 и 11.", "175: 9(v+2)=11(v−2) → v=20.", "176: 2(v+10)=3(v−10) → v=50.", "177: отрыв 40, сближение 5 → 40/5=8 дней.", "178: плотн. x, маляр. 2,5x; 2,5x+4=4(x−2) → x=8, маляров 20." ] }, "detailed": { "html": "

169

Пусть прибыль в I квартале равна x руб. Тогда во II квартале она на 10% больше, то есть 1,1x.

По условию: x + 1,1x = 126000 ⇒ 2,1x = 126000 ⇒ x = 126000 / 2,1 = 60000.

Ответ: 60000 руб.

\n

170

Пусть 1-я школа получила x компьютеров. Тогда 2-я: x+6, 3-я: (x+6)+10 = x+16.

Сумма: x+(x+6)+(x+16)=70 ⇒ 3x+22=70 ⇒ 3x=48 ⇒ x=16.

Ответ: 1-я — 16, 2-я — 22, 3-я — 32.

\n

171

Пусть на свитер ушло x г. На шапку в 5 раз меньше: x/5. На шапку на 5 г больше, чем на шарф, значит на шарф: x/5 − 5.

Сумма: x + x/5 + (x/5 − 5) = 555 ⇒ x + 2x/5 − 5 = 555 ⇒ 7x/5 = 560 ⇒ x=400.

Тогда шапка 400/5=80 г, шарф 80−5=75 г.

Ответ: свитер 400 г, шапка 80 г, шарф 75 г.

\n

172

Пусть на второй полке x книг. Тогда на первой на 8 меньше: x−8. На первой на 5 больше, чем на третьей, значит третья: (x−8)−5 = x−13.

Сумма: (x−8)+x+(x−13)=158 ⇒ 3x−21=158 ⇒ 3x=179 ⇒ x=179/3.

Получилось не целое число книг, значит разложить так нельзя.

Ответ: нельзя.

\n

173

Пусть в первом ящике x банок. Тогда в третьем x+9. Во втором на 4 меньше, чем в третьем: (x+9)−4=x+5.

Сумма: x+(x+5)+(x+9)=59 ⇒ 3x+14=59 ⇒ 3x=45 ⇒ x=15.

Ответ: 1-й — 15, 2-й — 20, 3-й — 24.

\n

174

Пусть на втором участке было x кустов, тогда на первом в 5 раз больше: 5x.

После пересадки 22 кустов с первого на второй: на первом 5x−22, на втором x+22. По условию они стали равны:

5x−22 = x+22 ⇒ 4x=44 ⇒ x=11.

Ответ: было: на первом 55 кустов, на втором 11 кустов.

\n

175

Пусть собственная скорость теплохода v км/ч, скорость течения 2 км/ч.

Тогда по течению скорость v+2, против течения v−2. За 9 ч по течению и за 11 ч против течения пройден один и тот же путь:

9(v+2)=11(v−2) ⇒ 9v+18=11v−22 ⇒ 40=2v ⇒ v=20.

Ответ: 20 км/ч.

\n

176

Пусть обе машины сначала едут со скоростью v км/ч.

После изменения: первая v+10, вторая v−10. По условию: за 2 ч первая проходит столько же, сколько вторая за 3 ч:

2(v+10)=3(v−10) ⇒ 2v+20=3v−30 ⇒ v=50.

Ответ: 50 км/ч.

\n

177

Первый идёт 40 вёрст в день. Второй стартует на следующий день и идёт 45 вёрст в день.

К моменту выхода второго у первого уже есть отрыв 40 вёрст. Каждый день второй сокращает расстояние на 45−40=5 вёрст.

Время догоняния: 40/5=8 дней (после выхода второго).

Ответ: через 8 дней.

\n

178

Пусть плотников было x, тогда маляров в 2,5 раза больше: 2,5x.

После изменений: маляров стало 2,5x+4, плотников стало x−2. По условию маляров стало в 4 раза больше, чем плотников:

2,5x+4 = 4(x−2) ⇒ 2,5x+4=4x−8 ⇒ 12=1,5x ⇒ x=8.

Тогда маляров было 2,5·8=20.

Ответ: первоначально 20 маляров и 8 плотников.

", "latex": "\\section*{169}\n\\text{Пусть }x\\text{ — прибыль в I квартале. Тогда во II: }1.1x.\n\\\\x+1.1x=126000\\Rightarrow 2.1x=126000\\Rightarrow x=60000.\n\\\\\\textbf{Ответ: }60000\\text{ руб.}\n\n\\section*{170}\n\\text{Пусть 1-я школа получила }x.\\;\\text{Тогда 2-я }x+6,\\;\\text{3-я }x+16.\n\\\\x+(x+6)+(x+16)=70\\Rightarrow 3x+22=70\\Rightarrow x=16.\n\\\\\\textbf{Ответ: }16,\\;22,\\;32.\n\n\\section*{171}\n\\text{Пусть на свитер }x\\text{ г. Тогда на шапку }\\frac{x}{5}.\n\\\\\\text{Шапка на }5\\text{ г больше шарфа }\\Rightarrow \\text{шарф }\\frac{x}{5}-5.\n\\\\x+\\frac{x}{5}+\\left(\\frac{x}{5}-5\\right)=555\n\\Rightarrow x+\\frac{2x}{5}=560\\Rightarrow \\frac{7x}{5}=560\\Rightarrow x=400.\n\\\\\\textbf{Ответ: }400\\text{ г, }80\\text{ г, }75\\text{ г.}\n\n\\section*{172}\n\\text{Пусть на 2-й полке }x.\\;\\text{Тогда 1-я }x-8.\n\\\\\\text{1-я на 5 больше 3-й }\\Rightarrow 3\\text{-я }(x-8)-5=x-13.\n\\\\(x-8)+x+(x-13)=158\\Rightarrow 3x-21=158\\Rightarrow x=\\frac{179}{3}\\notin\\mathbb Z.\n\\\\\\textbf{Ответ: }\\text{нельзя.}\n\n\\section*{173}\n\\text{Пусть в 1-м ящике }x.\\;\\text{Тогда в 3-м }x+9,\n\\\\\\text{во 2-м }(x+9)-4=x+5.\n\\\\x+(x+5)+(x+9)=59\\Rightarrow 3x+14=59\\Rightarrow x=15.\n\\\\\\textbf{Ответ: }15,\\;20,\\;24.\n\n\\section*{174}\n\\text{Пусть на 2-м участке }x,\\;\\text{на 1-м }5x.\n\\\\\\text{После пересадки: }5x-22=x+22\\Rightarrow 4x=44\\Rightarrow x=11.\n\\\\\\textbf{Ответ: }55\\text{ и }11.\n\n\\section*{175}\n\\text{Пусть собственная скорость }v.\\;\\text{Течение }2.\n\\\\9(v+2)=11(v-2)\\Rightarrow 9v+18=11v-22\\Rightarrow 2v=40\\Rightarrow v=20.\n\\\\\\textbf{Ответ: }20\\text{ км/ч.}\n\n\\section*{176}\n\\text{Пусть общая скорость }v.\n\\\\2(v+10)=3(v-10)\\Rightarrow 2v+20=3v-30\\Rightarrow v=50.\n\\\\\\textbf{Ответ: }50\\text{ км/ч.}\n\n\\section*{177}\n\\text{Отрыв за 1 день: }40.\\;\\text{Сближение: }45-40=5.\n\\\\t=\\frac{40}{5}=8.\n\\\\\\textbf{Ответ: }8\\text{ дней.}\n\n\\section*{178}\n\\text{Пусть плотников }x,\\;\\text{маляров }2.5x.\n\\\\2.5x+4=4(x-2)\\Rightarrow 2.5x+4=4x-8\\Rightarrow 12=1.5x\\Rightarrow x=8.\n\\\\\\text{Маляров }2.5\\cdot 8=20.\n\\\\\\textbf{Ответ: }20\\text{ маляров и }8\\text{ плотников.}", "steps": [ "169: Ввести x — прибыль I кв.; II кв. = 1,1x; решить 2,1x=126000.", "170: Ввести x; составить сумму x+(x+6)+(x+16)=70; найти x и все три значения.", "171: Ввести x (свитер); шапка x/5; шарф x/5−5; решить уравнение на сумму 555.", "172: Ввести x (2-я полка); 1-я x−8; 3-я x−13; проверить целочисленность решения.", "173: Ввести x (1-й ящик); 3-й x+9; 2-й x+5; решить 3x+14=59.", "174: Ввести x (2-й участок); 1-й 5x; после пересадки приравнять 5x−22 и x+22.", "175: Составить равенство путей 9(v+2)=11(v−2); решить на v.", "176: Составить равенство расстояний 2(v+10)=3(v−10); решить на v.", "177: Найти отрыв 40 и скорость сближения 5; время = 40/5.", "178: Пусть плотников x, маляров 2,5x; после изменений 2,5x+4=4(x−2); найти x и 2,5x." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителя (как объяснять):

\n

\n
1. Во всех задачах удобно вводить одну переменную (x) — количество/скорость/прибыль в «базовом» случае.
\n
2. Переводите фразы в выражения: «на 10% больше» → 1,1x; «в 5 раз меньше» → x/5; «на 6 больше» → x+6; «на 4 меньше» → x−4.
\n
3. Составляйте одно уравнение по сумме (если дано общее количество) или по равенству путей/количеств (если «стало поровну», «прошли одинаковый путь»).
\n
4. Проверяйте смысл: в задачах про книги/банки ответ должен быть целым; в задачах про скорость — положительным и больше скорости течения, если есть движение против течения.
\n

\n

Короткие ответы: 169) 60000; 170) 16,22,32; 171) 400,80,75; 172) нельзя; 173) 15,20,24; 174) 55 и 11; 175) 20; 176) 50; 177) 8 дней; 178) 20 маляров и 8 плотников.

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителя}\n\\begin{enumerate}\n\\item Введите одну переменную $x$ для базовой величины.\n\\item Перевод фраз: на $10\\%$ больше $\\to 1.1x$; в 5 раз меньше $\\to \\frac{x}{5}$; на 6 больше $\\to x+6$.\n\\item Составьте одно уравнение по сумме или по равенству (\\,\\text{стало поровну}, \\text{одинаковый путь}\\,).\n\\item Проверьте смысл: количества должны быть целыми, скорости — положительными.\n\\end{enumerate}\n\\textbf{Ответы: }169)60000;\\;170)16,22,32;\\;171)400,80,75;\\;172)\\text{нельзя};\\;173)15,20,24;\\;174)55\\text{ и }11;\\;175)20;\\;176)50;\\;177)8;\\;178)20\\text{ и }8." }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX-блок для вставки в конспект/распечатку приведён в поле latex.

", "latex": "% !TeX program = pdflatex\n\\documentclass[12pt]{article}\n\\usepackage[utf8]{inputenc}\n\\usepackage[russian]{babel}\n\\usepackage{amsmath,amssymb}\n\\usepackage[a4paper,margin=1.8cm]{geometry}\n\n\\begin{document}\n\\section*{Задачи 169--178}\n\n\\subsection*{169}\nПусть прибыль в I квартале равна $x$ руб., тогда во II квартале $1.1x$.\n\\[\n x+1.1x=126000\\Rightarrow 2.1x=126000\\Rightarrow x=60000.\n\\]\nОтвет: $60000$ руб.\n\n\\subsection*{170}\nПусть 1-я школа получила $x$ компьютеров, тогда 2-я $x+6$, 3-я $x+16$.\n\\[\n x+(x+6)+(x+16)=70\\Rightarrow 3x+22=70\\Rightarrow x=16.\n\\]\nОтвет: $16,\\ 22,\\ 32$.\n\n\\subsection*{171}\nПусть на свитер ушло $x$ г, на шапку $\\frac{x}{5}$ г, на шарф $\\frac{x}{5}-5$ г.\n\\[\n x+\\frac{x}{5}+\\left(\\frac{x}{5}-5\\right)=555\n \\Rightarrow \\frac{7x}{5}=560\\Rightarrow x=400.\n\\]\nОтвет: свитер $400$ г, шапка $80$ г, шарф $75$ г.\n\n\\subsection*{172}\nПусть на второй полке $x$ книг, тогда на первой $x-8$, на третьей $x-13$.\n\\[\n (x-8)+x+(x-13)=158\\Rightarrow 3x-21=158\\Rightarrow x=\\frac{179}{3}.\n\\]\nНе целое число, значит расположить нельзя. Ответ: нельзя.\n\n\\subsection*{173}\nПусть в первом ящике $x$ банок, тогда в третьем $x+9$, во втором $x+5$.\n\\[\n x+(x+5)+(x+9)=59\\Rightarrow 3x+14=59\\Rightarrow x=15.\n\\]\nОтвет: $15,\\ 20,\\ 24$.\n\n\\subsection*{174}\nПусть на втором участке было $x$ кустов, на первом $5x$.\n\\[\n 5x-22=x+22\\Rightarrow 4x=44\\Rightarrow x=11.\n\\]\nОтвет: было $55$ и $11$.\n\n\\subsection*{175}\nПусть собственная скорость теплохода $v$ км/ч, скорость течения $2$ км/ч.\n\\[\n 9(v+2)=11(v-2)\\Rightarrow v=20.\n\\]\nОтвет: $20$ км/ч.\n\n\\subsection*{176}\nПусть скорость обеих машин $v$ км/ч.\n\\[\n 2(v+10)=3(v-10)\\Rightarrow v=50.\n\\]\nОтвет: $50$ км/ч.\n\n\\subsection*{177}\nОтрыв за первый день $40$ вёрст, скорость сближения $45-40=5$ вёрст/день.\n\\[\n t=\\frac{40}{5}=8.\n\\]\nОтвет: через $8$ дней после выхода второго.\n\n\\subsection*{178}\nПусть плотников было $x$, тогда маляров $2.5x$.\nПосле изменений: маляров $2.5x+4$, плотников $x-2$.\n\\[\n 2.5x+4=4(x-2)\\Rightarrow 12=1.5x\\Rightarrow x=8.\n\\]\nМаляров: $2.5\\cdot 8=20$.\nОтвет: $20$ маляров и $8$ плотников.\n\n\\end{document}\n" } } ```