Решение задачи 36 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

Линейное уравнение имеет вид ax=b.

\n

\n
• Если a ≠ 0, то уравнение имеет один корень: x = b/a.
\n
• Если a = 0 и b ≠ 0, то корней нет (получаем неверное равенство 0=b).
\n
• Если a = 0 и b = 0, то корней бесконечно много (верно при любом x).
\n

\n

Пример: 4(x+7)=3−x ⇒ x=−5.

", "latex": "\\textbf{Линейное уравнение: } ax=b.\\\\\n\\begin{cases}\n a\\ne 0 \\Rightarrow x=\\dfrac{b}{a} \\text{ (один корень)};\\\\\n a=0,\\ b\\ne 0 \\Rightarrow \\text{корней нет};\\\\\n a=0,\\ b=0 \\Rightarrow \\text{бесконечно много корней (любое }x\\text{)}.\n\\end{cases}\\\\\n\\textbf{Пример: }4(x+7)=3-x \\Rightarrow x=-5.", "steps": [ "Рассматриваем уравнение ax=b.", "Если a≠0, делим обе части на a и получаем единственный корень x=b/a.", "Если a=0: получаем 0x=b. При b≠0 решений нет, при b=0 решений бесконечно много.", "В примере 4(x+7)=3−x получаем x=−5." ] }, "detailed": { "html": "

Сколько корней может иметь линейное уравнение ax=b?

\n

Рассмотрим уравнение ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

\n

1) Случай a ≠ 0

\n

Можно разделить обе части на a:

\n

x = b/a.

\n

Значит, при a ≠ 0 уравнение имеет ровно один корень.

\n

2) Случай a = 0

\n

Тогда уравнение превращается в 0x=b, то есть фактически в равенство 0=b.

\n

\n
• Если b ≠ 0, то равенство 0=b неверно, значит корней нет.
\n
• Если b = 0, то равенство 0=0 верно при любом x, значит корней бесконечно много (любое число подходит).
\n

\n

Пример 1

\n

Решим: 4(x+7)=3−x.

\n

\n
1. Раскроем скобки: 4x+28=3−x.
\n
2. Перенесём x влево, числа вправо: 4x+x=3−28.
\n
3. Приведём подобные: 5x=−25.
\n
4. Разделим на 5: x=−5.
\n

\n

Ответ: x=−5.

\n

Пример 2 (когда получается 0x=b)

\n

Решим: 2x+5=2(x+6).

\n

\n
1. Раскроем скобки: 2x+5=2x+12.
\n
2. Вычтем 2x из обеих частей: 0x=12−5, то есть 0x=7.
\n
3. Так как 7 ≠ 0, решений нет.
\n

", "latex": "\\section*{Сколько корней может иметь линейное уравнение }ax=b?\nПусть дано уравнение $ax=b$.\n\n\\subsection*{1) Случай $a\\ne 0$}\nДелим обе части на $a$:\n\\[\nax=b \\Rightarrow x=\\frac{b}{a}.\n\\]\nСледовательно, при $a\\ne 0$ уравнение имеет ровно один корень.\n\n\\subsection*{2) Случай $a=0$}\nТогда\n\\[\n0\\cdot x=b \\Rightarrow 0=b.\n\\]\n\\begin{itemize}\n\\item Если $b\\ne 0$, равенство $0=b$ неверно, значит корней нет.\n\\item Если $b=0$, равенство $0=0$ верно при любом $x$, значит корней бесконечно много.\n\\end{itemize}\n\n\\subsection*{Пример 1}\nРешим $4(x+7)=3-x$:\n\\[\n4x+28=3-x,\n\\]\n\\[\n4x+x=3-28,\n\\]\n\\[\n5x=-25,\n\\]\n\\[\nx=-5.\n\\]\n\n\\subsection*{Пример 2}\nРешим $2x+5=2(x+6)$:\n\\[\n2x+5=2x+12,\n\\]\n\\[\n2x-2x=12-5 \\Rightarrow 0x=7.\n\\]\nТак как $7\\ne 0$, решений нет.", "steps": [ "Записываем общее линейное уравнение: ax=b.", "Если a≠0, делим обе части на a и получаем x=b/a (единственный корень).", "Если a=0, уравнение становится 0x=b, то есть 0=b.", "При b≠0 равенство 0=b невозможно → решений нет.", "При b=0 равенство 0=0 верно всегда → решений бесконечно много.", "Пример 4(x+7)=3−x: раскрываем скобки, переносим, приводим подобные, делим → x=−5.", "Пример 2x+5=2(x+6): получаем 0x=7 → решений нет." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителей: как объяснить ребёнку

\n

Линейное уравнение с одной переменной обычно приводят к виду ax=b.

\n

\n
1. Если a не ноль, то переменная действительно «присутствует» в уравнении. Тогда можно разделить на a и получить единственный ответ: x=b/a.
\n
2. Если a=0, то переменная исчезает: получается 0x=b, то есть просто проверка, верно ли равенство 0=b.\n
   \n
   • Если b≠0, это ложь → решений нет.
   \n
   • Если b=0, это правда → подходит любое x (бесконечно много решений).
   \n
   \n
\n

\n

Полезный приём: при решении сложного уравнения ребёнок делает преобразования и в конце может получить либо обычное ax=b (тогда один корень), либо 0x=b (тогда либо нет корней, либо их бесконечно много).

\n

Пример: 2x+5=2(x+6) → 2x+5=2x+12 → 0x=7 → решений нет.

", "latex": "\\section*{Памятка для родителей}\nЛинейное уравнение приводят к виду $ax=b$.\n\\begin{enumerate}\n\\item Если $a\\ne 0$, то делим на $a$ и получаем единственный ответ: $x=\\dfrac{b}{a}$.\n\\item Если $a=0$, получаем $0x=b$, то есть проверяем равенство $0=b$:\n \\begin{itemize}\n \\item $b\\ne 0$ $\\Rightarrow$ решений нет;\n \\item $b=0$ $\\Rightarrow$ подходит любое $x$ (бесконечно много решений).\n \\end{itemize}\n\\end{enumerate}\nПример: $2x+5=2(x+6)\\Rightarrow 2x+5=2x+12\\Rightarrow 0x=7$, решений нет." }, "latex_pack": { "html": "

Готовый LaTeX-блок

\n

\\begin{theorem}\nЛинейное уравнение $ax=b$ имеет:\n\\begin{itemize}\n\\item один корень $x=\\dfrac{b}{a}$, если $a\\ne 0$;\n\\item не имеет корней, если $a=0$ и $b\\ne 0$;\n\\item бесконечно много корней, если $a=0$ и $b=0$.\n\\end{itemize}\n\\end{theorem}\n\n\\begin{example}\nРешить $4(x+7)=3-x$.\n\\[\n4x+28=3-x,\n\\]\n\\[\n4x+x=3-28,\n\\]\n\\[\n5x=-25,\n\\]\n\\[\nx=-5.\n\\]\n\\end{example}\n\n\\begin{example}\nРешить $2x+5=2(x+6)$.\n\\[\n2x+5=2x+12 \\Rightarrow 0x=7.\n\\]\nСледовательно, решений нет.\n\\end{example}

", "latex": "\\begin{theorem}\nЛинейное уравнение $ax=b$ имеет:\n\\begin{itemize}\n\\item один корень $x=\\dfrac{b}{a}$, если $a\\ne 0$;\n\\item не имеет корней, если $a=0$ и $b\\ne 0$;\n\\item бесконечно много корней, если $a=0$ и $b=0$.\n\\end{itemize}\n\\end{theorem}\n\n\\begin{example}\nРешить $4(x+7)=3-x$.\n\\[\n4x+28=3-x,\n\\]\n\\[\n4x+x=3-28,\n\\]\n\\[\n5x=-25,\n\\]\n\\[\nx=-5.\n\\]\n\\end{example}\n\n\\begin{example}\nРешить $2x+5=2(x+6)$.\n\\[\n2x+5=2x+12 \\Rightarrow 0x=7.\n\\]\nСледовательно, решений нет.\n\\end{example}" } } ```