Решение задачи 34 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

Ответы к упражнениям 130–136.

\n

\n
1. 130. а) 3 — не корень; б) 3 — не корень.
\n
2. 131. а) корни: −2, 2; б) корни: −2, 3.
\n
3. 132. корни среди данных чисел: 6, −1.
\n
4. 133. числа 7, −3, 0 — корни.
\n
5. 134. числа 1,2 и −1,2 — корни.
\n
6. 135. а) верно при любом y ⇒ любое число — корень; б) корней нет.
\n
7. 136. а) корней нет; б) корень: 0.
\n

", "latex": "\\textbf{Ответы (130--136):}\n\\begin{enumerate}\n\\item 130: \\; a)\\;3\\text{ не корень};\\quad b)\\;3\\text{ не корень}.\n\\item 131: \\; a)\\;x=-2,\\;2;\\quad b)\\;x=-2,\\;3.\n\\item 132: \\;\\text{среди }\\{1,-1,6,-6\\}\\text{ корни: }x=6,\\,-1.\n\\item 133: \\;x=7,-3,0\\text{ --- корни.}\n\\item 134: \\;x=\\pm 1{,}2\\text{ --- корни.}\n\\item 135: \\; a)\\;\\text{любое }y\\text{ --- корень};\\quad b)\\;\\text{корней нет}.\n\\item 136: \\; a)\\;\\text{корней нет};\\quad b)\\;y=0.\n\\end{enumerate}", "steps": [ "Подставлять указанное число в уравнение и проверять равенство (для задач «является ли корнем»).", "Для поиска корней среди списка: подставить каждое число и оставить те, при которых равенство верно.", "Для произведения, равного нулю: произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен 0.", "Для уравнений вида A=B, где после упрощения получается тождество — корень любое число; если получается неверное равенство — корней нет." ] }, "detailed": { "html": "

130

\n

а) Проверим x=3:

\n

Левая часть: 5(2·3−1)=5(6−1)=25.

\n

Правая часть: 8·3+1=24+1=25.

\n

Равенство верно ⇒ 3 — корень.

\n

б) (3−4)(3+4)=(-1)·7=-7, а справа 7 ⇒ не равно ⇒ 3 не корень.

\n\n

131

\n

а) Проверяем числа −2, −1, 0, 2, 3 в уравнении x²=10−3x.

\n

\n
• x=−2: 4 = 10−3(−2)=16 — нет.
\n
• x=−1: 1 = 10−3(−1)=13 — нет.
\n
• x=0: 0 = 10 — нет.
\n
• x=2: 4 = 10−6=4 — да.
\n
• x=3: 9 = 10−9=1 — нет.
\n

\n

Корень из списка: 2. (Также можно решить: x²+3x−10=0 ⇒ (x+5)(x−2)=0 ⇒ x=−5 или 2; из списка подходит только 2.)

\n

б) x(x²−7)=6.

\n

\n
• x=−2: (−2)(4−7)=(−2)(−3)=6 — да.
\n
• x=−1: (−1)(1−7)=6? получаем 6 — да? (−1)(−6)=6 — да.
\n
• x=0: 0 — нет.
\n
• x=2: 2(4−7)=−6 — нет.
\n
• x=3: 3(9−7)=6 — да.
\n

\n

Корни из списка: −2, −1, 3.

\n\n

132

\n

Уравнение: x(x−5)=6. Проверим данные числа.

\n

\n
• x=1: 1·(−4)=−4 ≠ 6.
\n
• x=−1: (−1)(−6)=6 ⇒ да.
\n
• x=6: 6·1=6 ⇒ да.
\n
• x=−6: (−6)(−11)=66 ≠ 6.
\n

\n

Корни среди данных: −1 и 6.

\n\n

133

\n

Уравнение: x(x+3)(x−7)=0.

\n

Если x=0, то первый множитель 0 ⇒ произведение 0.

\n

Если x=−3, то (x+3)=0 ⇒ произведение 0.

\n

Если x=7, то (x−7)=0 ⇒ произведение 0.

\n

Значит, 0, −3, 7 — корни.

\n\n

134

\n

Уравнение: x²=1,44.

\n

Проверим x=1,2: (1,2)²=1,44 ⇒ подходит.

\n

Проверим x=−1,2: (−1,2)²=1,44 ⇒ подходит.

\n

Значит, 1,2 и −1,2 — корни.

\n\n

135

\n

а) 1,4(y+5)=7+1,4y.

\n

Раскроем скобки: 1,4y+7 = 7+1,4y.

\n

Получили одинаковые части слева и справа ⇒ равенство верно при любом y ⇒ любое число — корень.

\n

б) y−3=y ⇒ перенесём y: y−y=3 ⇒ 0=3 — неверно.

\n

Неверное равенство не может выполняться ни при каком y ⇒ корней нет.

\n\n

136

\n

а) 2x+3=2x+8 ⇒ вычтем 2x: 3=8 — неверно ⇒ корней нет.

\n

б) 2y=y ⇒ вычтем y: y=0 ⇒ корень 0.

", "latex": "\\begin{enumerate}\n\\item[130.] \\textbf{a)}\\; x=3:\\;5(2\\cdot 3-1)=5(6-1)=25,\\;8\\cdot 3+1=25\\Rightarrow 3\\text{ --- корень}.\\\\\n\\textbf{b)}\\; (3-4)(3+4)=(-1)\\cdot 7=-7\\ne 7\\Rightarrow 3\\text{ не корень}.\n\n\\item[131.] \\textbf{a)}\\;x^2=10-3x.\\;\\text{Проверка чисел }-2,-1,0,2,3:\\;\\text{подходит только }x=2.\\\\\n(\\text{Также: }x^2+3x-10=0\\Rightarrow (x+5)(x-2)=0\\Rightarrow x=-5,2;\\;\\text{из списка }2.)\\\\\n\\textbf{b)}\\;x(x^2-7)=6.\\;\\text{Проверка: }x=-2\\Rightarrow 6;\\;x=-1\\Rightarrow 6;\\;x=3\\Rightarrow 6.\\;\\text{Корни: }-2,-1,3.\n\n\\item[132.]\\;x(x-5)=6.\\;\\text{Проверка: }x=-1\\Rightarrow (-1)(-6)=6;\\;x=6\\Rightarrow 6\\cdot 1=6.\\;\\text{Корни среди данных: }-1,6.\n\n\\item[133.]\\;x(x+3)(x-7)=0.\\;x=0\\Rightarrow 0;\\;x=-3\\Rightarrow (x+3)=0;\\;x=7\\Rightarrow (x-7)=0.\\;\\text{Все три числа --- корни.}\n\n\\item[134.]\\;x^2=1{,}44.\\;(1{,}2)^2=1{,}44,\\;(-1{,}2)^2=1{,}44\\Rightarrow x=\\pm 1{,}2\\text{ --- корни.}\n\n\\item[135.]\\textbf{a)}\\;1{,}4(y+5)=7+1{,}4y\\Rightarrow 1{,}4y+7=7+1{,}4y\\Rightarrow \\text{тождество}\\Rightarrow \\forall y.\\\\\n\\textbf{b)}\\;y-3=y\\Rightarrow 0=3\\Rightarrow \\text{корней нет}.\n\n\\item[136.]\\textbf{a)}\\;2x+3=2x+8\\Rightarrow 3=8\\Rightarrow \\text{корней нет}.\\\\\n\\textbf{b)}\\;2y=y\\Rightarrow y=0.\n\\end{enumerate}", "steps": [ "130а: подставить x=3, вычислить обе части, сравнить.", "130б: подставить x=3, вычислить произведение слева и число справа, сравнить.", "131а: либо подстановка всех чисел из списка, либо перенос в одну сторону и разложение на множители; выбрать те, что из списка.", "131б: подставить каждое число из списка в x(x^2−7) и сравнить с 6.", "132: подставить 1, −1, 6, −6; оставить те, где получается 6.", "133: использовать свойство: произведение равно 0 ⇔ хотя бы один множитель равен 0; проверить x=0, −3, 7.", "134: проверить возведением в квадрат, что (±1,2)^2=1,44.", "135а: раскрыть скобки и получить тождество ⇒ любое y.", "135б: упростить до 0=3 ⇒ решений нет.", "136а: сократить одинаковые 2x и получить 3=8 ⇒ решений нет.", "136б: вычесть y из обеих частей ⇒ y=0." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителей: как проверять «является ли число корнем» и как понимать равносильность.

\n

\n
• Число является корнем, если при подстановке вместо переменной получается верное числовое равенство.
\n
• Равносильные уравнения имеют одинаковое множество решений (или оба не имеют решений).
\n
• Разрешённые преобразования, которые не меняют множество решений: \n
  \n
  • перенос слагаемого через «=» с изменением знака;
  \n
  • умножение/деление обеих частей на одно и то же ненулевое число.
  \n
  \n
\n
• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \n A·B·C=0 ⇔ A=0 или B=0 или C=0.
\n
• Тождество (например, после упрощения получилось 7=7) означает: подходит любое значение переменной.
\n
• Противоречие (например, 3=8 или 0=3) означает: решений нет.
\n

\n

Применение к заданиям 130–136: в 130–132 достаточно подставлять числа; в 133 удобно использовать правило про произведение; в 135–136 после упрощения получаются либо тождество, либо противоречие.

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителей}\n\\begin{itemize}\n\\item \\textbf{Число --- корень}, если при подстановке получается верное равенство.\n\\item \\textbf{Равносильные уравнения} имеют одинаковые решения (или оба без решений).\n\\item Преобразования, сохраняющие решения:\n \\begin{itemize}\n \\item перенос слагаемого через знак равенства с изменением знака;\n \\item умножение/деление обеих частей на одно и то же \\textbf{ненулевое} число.\n \\end{itemize}\n\\item \\textbf{A\\cdot B\\cdot C=0 \\iff A=0 \\text{ или } B=0 \\text{ или } C=0.}\n\\item \\textbf{Тождество} (например, $7=7$) $\\Rightarrow$ подходит любое значение.\n\\item \\textbf{Противоречие} (например, $3=8$) $\\Rightarrow$ решений нет.\n\\end{itemize}" }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX-версия для вставки в конспект (ответы и краткие решения).

", "latex": "% ===== Упражнения 130--136 (7 класс) =====\n\\subsection*{Упражнения 130--136}\n\n\\textbf{130.} Проверить, является ли число $3$ корнем.\n\n\\textbf{a)} $5(2x-1)=8x+1$. При $x=3$:\n\\[5(2\\cdot 3-1)=5\\cdot 5=25,\\qquad 8\\cdot 3+1=25.\\]\nСледовательно, $3$ --- корень.\n\n\\textbf{b)} $(x-4)(x+4)=7$. При $x=3$:\n\\[(3-4)(3+4)=(-1)\\cdot 7=-7\\ne 7,\\]\nзначит, $3$ не корень.\n\n\\medskip\n\\textbf{131.} Какие из чисел $-2,-1,0,2,3$ являются корнями.\n\n\\textbf{a)} $x^2=10-3x$. Проверка даёт: подходит только $x=2$.\n(Можно решить: $x^2+3x-10=0\\Rightarrow (x+5)(x-2)=0\\Rightarrow x=-5,2$.)\n\n\\textbf{b)} $x(x^2-7)=6$. Проверка:\n\\[-2\\cdot(4-7)=6,\\quad -1\\cdot(1-7)=6,\\quad 3\\cdot(9-7)=6.\\]\nКорни из списка: $x=-2,-1,3$.\n\n\\medskip\n\\textbf{132.} Является ли корнем $x(x-5)=6$ число $1,-1,6,-6$.\nПроверка: $x=-1$ и $x=6$ дают $6$, остальные нет.\n\n\\medskip\n\\textbf{133.} Доказать, что $7,-3,0$ --- корни $x(x+3)(x-7)=0$.\nПри $x=0$ первый множитель равен $0$; при $x=-3$ равен $0$ множитель $(x+3)$; при $x=7$ равен $0$ множитель $(x-7)$.\n\n\\medskip\n\\textbf{134.} Доказать, что $1{,}2$ и $-1{,}2$ --- корни $x^2=1{,}44$:\n\\[(1{,}2)^2=1{,}44,\\qquad (-1{,}2)^2=1{,}44.\\]\n\n\\medskip\n\\textbf{135.}\n\\textbf{a)} $1{,}4(y+5)=7+1{,}4y\\Rightarrow 1{,}4y+7=7+1{,}4y$ --- тождество, значит, любое $y$ --- корень.\n\n\\textbf{b)} $y-3=y\\Rightarrow 0=3$ --- противоречие, корней нет.\n\n\\medskip\n\\textbf{136.}\n\\textbf{a)} $2x+3=2x+8\\Rightarrow 3=8$ --- корней нет.\n\n\\textbf{b)} $2y=y\\Rightarrow y=0$.\n" } } ```