Решение задачи 21 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

66. а) 2,06·3,05 < 21,28:3,5; б) 97,2:2,4 > 62–21,6; в) 1/2+1/5 > 1/3+1/4; г) 16–3 1/8 < 15–2 1/4.

\n

67. а) 56·(2/7) < 56:(7/2); б) 9:0,6 > 9·0,6; в) 2,1–5,8 < 2,1–1,7; г) 6,13–7,57 < –6,13+7,57.

\n

68. а) 6,16–7,44 < 7,23+8,11; б) 24,12·(1/4) < 24,12:(1/4); в) 5,7–3,11 < 5,7–2,16; г) 65,4·(5/6) < 65,4:(5/6).

\n

69. а) 0,7·0,8·0,9 < 0,7+0,8–0,9; б) 1/2+1/3–1/6 > (1/2)·(1/3)·(1/6).

", "latex": "\\textbf{66.}\\ a)\\ 2{,}06\\cdot3{,}05<\\frac{21{,}28}{3{,}5};\\quad b)\\ \\frac{97{,}2}{2{,}4}>62-21{,}6;\\\\\n\\quad c)\\ \\frac12+\\frac15>\\frac13+\\frac14;\\quad d)\\ 16-3\\frac18<15-2\\frac14.\\\\\n\\textbf{67.}\\ a)\\ 56\\cdot\\frac27<56:\\frac72;\\quad b)\\ 9:0{,}6>9\\cdot0{,}6;\\\\\n\\quad c)\\ 2{,}1-5{,}8<2{,}1-1{,}7;\\quad d)\\ 6{,}13-7{,}57<-6{,}13+7{,}57.\\\\\n\\textbf{68.}\\ a)\\ 6{,}16-7{,}44<7{,}23+8{,}11;\\quad b)\\ 24{,}12\\cdot\\frac14<24{,}12:\\frac14;\\\\\n\\quad c)\\ 5{,}7-3{,}11<5{,}7-2{,}16;\\quad d)\\ 65{,}4\\cdot\\frac56<65{,}4:\\frac56.\\\\\n\\textbf{69.}\\ a)\\ 0{,}7\\cdot0{,}8\\cdot0{,}9<0{,}7+0{,}8-0{,}9;\\\\\n\\quad b)\\ \\frac12+\\frac13-\\frac16>\\frac12\\cdot\\frac13\\cdot\\frac16.", "steps": [ "66: сравнили по вычислению/оценке (дроби привели к общему знаменателю; смешанные числа сравнили по вычитанию).", "67–68: использовали свойства: деление на число >1 уменьшает, на число <1 увеличивает; при вычитании большего получаем меньше; сумма положительных > отрицательного результата.", "69: слева произведение чисел <1, справа линейная комбинация; во (б) слева 2/3, справа 1/36." ] }, "detailed": { "html": "

66

\n

а) 2,06·3,05 = 6,283. 21,28:3,5 = 6,08. Значит 2,06·3,05 > 21,28:3,5.

\n

б) 97,2:2,4 = 40,5. 62–21,6 = 40,4. Значит 97,2:2,4 > 62–21,6.

\n

в) 1/2+1/5 = 5/10+2/10 = 7/10. 1/3+1/4 = 4/12+3/12 = 7/12. Так как 7/10 > 7/12, то левая сумма больше.

\n

г) 16–3 1/8 = 16–3,125 = 12,875. 15–2 1/4 = 15–2,25 = 12,75. Значит 16–3 1/8 > 15–2 1/4.

\n

67 (не вычисляя)

\n

а) 56:(7/2) = 56·(2/7). Оба выражения одинаковы ⇒ равны.

\n

б) Деление на 0,6 равносильно умножению на 1/0,6 > 1, поэтому 9:0,6 > 9·0,6.

\n

в) Из одного и того же числа 2,1 вычитаем 5,8 и 1,7. Так как 5,8 > 1,7, то 2,1–5,8 < 2,1–1,7.

\n

г) 6,13–7,57 = −(7,57−6,13) — отрицательно. −6,13+7,57 = 7,57−6,13 — положительно. Любое отрицательное меньше любого положительного ⇒ левое < правого.

\n

68 (не вычисляя)

\n

а) 6,16–7,44 — отрицательное, а 7,23+8,11 — положительное ⇒ левое < правого.

\n

б) Умножение на 1/4 уменьшает число, а деление на 1/4 равносильно умножению на 4 (увеличивает) ⇒ 24,12·(1/4) < 24,12:(1/4).

\n

в) Вычитаем из 5,7 числа 3,11 и 2,16. Так как 3,11 > 2,16, то 5,7–3,11 < 5,7–2,16.

\n

г) Умножение на 5/6 (<1) уменьшает, а деление на 5/6 равносильно умножению на 6/5 (>1) увеличивает ⇒ 65,4·(5/6) < 65,4:(5/6).

\n

69

\n

а) 0,7·0,8·0,9 = 0,504. 0,7+0,8−0,9 = 0,6. Значит 0,504 < 0,6.

\n

б) 1/2+1/3−1/6 = 3/6+2/6−1/6 = 4/6 = 2/3. Произведение (1/2)(1/3)(1/6)=1/36. Так как 2/3 > 1/36, то левая часть больше.

", "latex": "\\section*{66}\n\\textbf{a)}\\ 2{,}06\\cdot3{,}05=6{,}283,\\quad \\frac{21{,}28}{3{,}5}=6{,}08\\Rightarrow 2{,}06\\cdot3{,}05>\\frac{21{,}28}{3{,}5}.\\\\\n\\textbf{b)}\\ \\frac{97{,}2}{2{,}4}=40{,}5,\\quad 62-21{,}6=40{,}4\\Rightarrow \\frac{97{,}2}{2{,}4}>62-21{,}6.\\\\\n\\textbf{c)}\\ \\frac12+\\frac15=\\frac{5}{10}+\\frac{2}{10}=\\frac{7}{10},\\quad \\frac13+\\frac14=\\frac{4}{12}+\\frac{3}{12}=\\frac{7}{12},\\quad \\frac{7}{10}>\\frac{7}{12}.\\\\\n\\textbf{d)}\\ 16-3\\frac18=16-3{,}125=12{,}875,\\quad 15-2\\frac14=15-2{,}25=12{,}75,\\Rightarrow 16-3\\frac18>15-2\\frac14.\n\n\\section*{67 (\\,не вычисляя\\,)}\n\\textbf{a)}\\ 56:\\frac72=56\\cdot\\frac27\\Rightarrow \\text{выражения равны}.\\\\\n\\textbf{b)}\\ 9:0{,}6=9\\cdot\\frac{1}{0{,}6},\\ \\frac{1}{0{,}6}>1\\Rightarrow 9:0{,}6>9\\cdot0{,}6.\\\\\n\\textbf{c)}\\ 5{,}8>1{,}7\\Rightarrow 2{,}1-5{,}8<2{,}1-1{,}7.\\\\\n\\textbf{d)}\\ 6{,}13-7{,}57<0,\\ -6{,}13+7{,}57>0\\Rightarrow 6{,}13-7{,}57<-6{,}13+7{,}57.\n\n\\section*{68 (\\,не вычисляя\\,)}\n\\textbf{a)}\\ 6{,}16-7{,}44<0,\\ 7{,}23+8{,}11>0\\Rightarrow 6{,}16-7{,}44<7{,}23+8{,}11.\\\\\n\\textbf{b)}\\ \\frac14<1\\Rightarrow 24{,}12\\cdot\\frac14<24{,}12,\\quad 24{,}12:\\frac14=24{,}12\\cdot4>24{,}12\\Rightarrow 24{,}12\\cdot\\frac14<24{,}12:\\frac14.\\\\\n\\textbf{c)}\\ 3{,}11>2{,}16\\Rightarrow 5{,}7-3{,}11<5{,}7-2{,}16.\\\\\n\\textbf{d)}\\ \\frac56<1\\Rightarrow 65{,}4\\cdot\\frac56<65{,}4,\\quad 65{,}4:\\frac56=65{,}4\\cdot\\frac65>65{,}4\\Rightarrow 65{,}4\\cdot\\frac56<65{,}4:\\frac56.\n\n\\section*{69}\n\\textbf{a)}\\ 0{,}7\\cdot0{,}8\\cdot0{,}9=0{,}504,\\quad 0{,}7+0{,}8-0{,}9=0{,}6\\Rightarrow 0{,}504<0{,}6.\\\\\n\\textbf{b)}\\ \\frac12+\\frac13-\\frac16=\\frac{3+2-1}{6}=\\frac46=\\frac23,\\quad \\frac12\\cdot\\frac13\\cdot\\frac16=\\frac{1}{36},\\quad \\frac23>\\frac{1}{36}.", "steps": [ "66а: вычислили произведение и частное, сравнили 6,283 и 6,08.", "66б: вычислили частное 40,5 и разность 40,4, сравнили.", "66в: привели дроби к общему знаменателю и сравнили 7/10 и 7/12.", "66г: перевели смешанные числа в десятичные и сравнили результаты вычитания.", "67а: заменили деление на дробь умножением на обратную — получили одинаковые выражения.", "67б: деление на число меньше 1 увеличивает результат, умножение на число меньше 1 уменьшает.", "67в: при вычитании большего числа получается меньший результат.", "67г: одно выражение отрицательное, другое положительное.", "68а: отрицательное число меньше положительного.", "68б: умножение на 1/4 уменьшает, деление на 1/4 увеличивает.", "68в: вычитание большего уменьшает сильнее.", "68г: умножение на 5/6 (<1) уменьшает, деление на 5/6 (=умножение на 6/5>1) увеличивает.", "69а: вычислили обе части и сравнили.", "69б: нашли сумму 2/3 и произведение 1/36, сравнили." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителя (как сравнивать без лишних вычислений)

\n

\n
• Если делим на число меньше 1 (например, 0,6 или 5/6), результат увеличивается. Если делим на число больше 1 — уменьшается.
\n
• Если умножаем на число меньше 1 (1/4, 5/6), результат уменьшается. Если умножаем на число больше 1 — увеличивается.
\n
• При вычитании: из одного и того же числа вычесть большее — значит получить меньший результат.
\n
• Отрицательное число всегда меньше положительного.
\n
• Деление на дробь: a:(p/q)=a·(q/p).
\n

\n

По этим правилам решаются задания 67–68. В 66 и 69 можно либо посчитать, либо тоже оценивать, но в учебнике обычно допускается вычисление.

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителя}\n\\begin{itemize}\n\\item \\textbf{Деление:} \\ a:b=a\\cdot\\frac1b.\\ Если\\ 01\\Rightarrow a:b>a.\\ Если\\ b>1,\\ то\\ a:b1,\\ то\\ a\\cdot k>a.\n\\item \\textbf{Вычитание:} \\ при\\ x-a\\ \\text{и}\\ x-b:\\ a>b\\Rightarrow x-a\\usepackage[T2A]{fontenc}\n\\usepackage[utf8]{inputenc}\n\\usepackage[russian]{babel}\n\\usepackage{amsmath,amssymb}\n", "latex": "\\usepackage[T2A]{fontenc}\n\\usepackage[utf8]{inputenc}\n\\usepackage[russian]{babel}\n\\usepackage{amsmath,amssymb}" } } ```