55. Прочитайте выражение (термины: сумма, разность, произведение, частное)
- а) mx — произведение чисел m и x.
- б) 10+ab — сумма числа 10 и произведения чисел a и b.
- в) (a+5)x — произведение суммы чисел a и 5 и числа x.
- г) m−8a — разность числа m и произведения чисел 8 и a.
- д) 2x+1 — сумма произведения чисел 2 и x и числа 1.
- е) a/b + c — сумма частного чисел a и b и числа c.
- ж) ab+bc — сумма произведения a и b и произведения b и c.
- з) (a−b)(a+b) — произведение разности чисел a и b и суммы чисел a и b.
56. Запишите в виде выражения
- а) сумма чисел b и c: b+c
- б) разность чисел a и m: a−m
- в) квадрат числа x: x²
- г) куб числа y: y³
- д) сумма числа x и произведения a и b: x+ab
- е) разность числа m и частного x и y: m−x/y
- ж) произведение суммы a и b и числа c: (a+b)c
- з) произведение числа a и суммы x и y: a(x+y)
57. При каких значениях переменной выражение имеет смысл
Правило: дробь определена, если её знаменатель не равен нулю.
- а) 18/(5y+2): 5y+2≠0 ⇒ y≠−2/5.
- б) 1/y: y≠0.
- в) (m−1)/(x−7): x−7≠0 ⇒ x≠7 (m — любое).
- г) 7a/4: знаменатель 4≠0 ⇒ ограничений нет (любое a).
- д) 2b/(3+a): 3+a≠0 ⇒ a≠−3 (b — любое).
- е) 14/(10−b): 10−b≠0 ⇒ b≠10.
58. Какое выражение имеет смысл при любом a
Сравним знаменатели: a² может быть 0 (при a=0), a²−1 может быть 0 (при a=±1), а a²+1 всегда ≥1, значит никогда не равен 0.
Ответ: 14/(a²+1).
59. Формула числа, кратного заданному
Число кратно k, если оно равно k·n, где n — целое.
- а) кратного 5: 5n
- б) кратного 10: 10n
- в) кратного 101: 101n
60. Формула числа, кратного 7, и два трёхзначных примера
Формула: 7n, где n — целое.
Чтобы получить трёхзначные, берём n так, чтобы 7n было от 100 до 999. Например:
- n=15 ⇒ 7·15=105
- n=16 ⇒ 7·16=112
61. Доказательство: простое число p≥5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6
Пусть p — простое и p≥5. Тогда p не делится на 2 и не делится на 3.
Любое целое число при делении на 6 даёт остаток 0,1,2,3,4 или 5. Остатки 0,2,4 соответствуют чётным числам (делятся на 2), остаток 3 соответствует числам, делящимся на 3. Значит для простого p≥5 остаются только остатки 1 или 5.
Если p≡1 (mod 6), то p−1 делится на 6. Если p≡5 (mod 6), то p+1 делится на 6. Что и требовалось.
62. Найдите число по процентам
Если p% числа равны a, то (p/100)·x=a.
- а) 3%: 0,03x=1,8 ⇒ x=1,8/0,03=60.
- б) 85%: 0,85x=17 ⇒ x=17/0,85=20.
- в) 130%: 1,3x=3,9 ⇒ x=3,9/1,3=3.
- г) 6,2%: 0,062x=9,3 ⇒ x=9,3/0,062=150.
63. Было молока в бидоне
Отлили 30%, значит осталось 70%.
0,7x=14 ⇒ x=14/0,7=20 (л).
Шаг 1
55: для каждого выражения определить главную операцию (сумма/разность/произведение/частное) и проговорить словами.
Шаг 2
56: ключевые слова: «сумма» → +, «разность» → −, «произведение» → ·, «частное» → дробь, «квадрат/куб» → степень 2/3.
Шаг 3
57: выписать знаменатель и потребовать, чтобы он не был равен нулю.
Шаг 4
58: проверить, может ли знаменатель обратиться в ноль; выбрать тот, который всегда положителен: a^2+1.
Шаг 5
59–60: использовать определение кратности: число = k·n, где n — целое; подобрать n для трёхзначных.
Шаг 6
61: рассмотреть остатки по модулю 6; исключить те, что дают делимость на 2 или 3; остаются 1 и 5.
Шаг 7
62: составить уравнение (p/100)x=a и найти x делением.
Шаг 8
63: после отливания 30% осталось 70%: 0,7x=14.
