Решение задачи 19 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

55. Прочитайте выражение

а) mx — произведение чисел m и x.

б) 10+ab — сумма числа 10 и произведения a и b.

в) (a+5)x — произведение суммы a и 5 и числа x.

г) m−8a — разность числа m и произведения 8 и a.

д) 2x+1 — сумма произведения 2 и x и числа 1.

е) a/b + c — сумма частного a и b и числа c.

ж) ab+bc — сумма произведений a·b и b·c.

з) (a−b)(a+b) — произведение разности a и b и суммы a и b.

56. Запишите в виде выражения

а) b+c; б) a−m; в) x²; г) y³; д) x+ab; е) m−x/y; ж) (a+b)c; з) a(x+y).

57. Когда выражение имеет смысл

а) 18/(5y+2): 5y+2≠0 ⇒ y≠−2/5.

б) 1/y: y≠0.

в) (m−1)/(x−7): x≠7.

г) 7a/4: всегда (ограничений нет).

д) 2b/(3+a): 3+a≠0 ⇒ a≠−3.

е) 14/(10−b): 10−b≠0 ⇒ b≠10.

58.

При любом a имеет смысл выражение 14/(a²+1).

59. Формула числа

а) кратного 5: 5n; б) кратного 10: 10n; в) кратного 101: 101n.

60.

Кратного 7: 7n. Примеры трёхзначных: 7·15=105, 7·16=112.

61.

Любое простое p≥5: p≡1 или 5 (mod 6), значит p−1 или p+1 делится на 6.

62. Найдите число

а) 0,03x=1,8 ⇒ x=60.

б) 0,85x=17 ⇒ x=20.

в) 1,3x=3,9 ⇒ x=3.

г) 0,062x=9,3 ⇒ x=150.

63.

Осталось 70%: 0,7x=14 ⇒ x=20 л.

", "latex": "\\textbf{55.}\\ a)\\ mx\\text{ — произведение }m\\text{ и }x.\\\\\nб)\\ 10+ab\\text{ — сумма }10\\text{ и произведения }a\\text{ и }b.\\\\\nв)\\ (a+5)x\\text{ — произведение суммы }(a+5)\\text{ и }x.\\\\\nг)\\ m-8a\\text{ — разность }m\\text{ и произведения }8\\text{ и }a.\\\\\nд)\\ 2x+1\\text{ — сумма }2x\\text{ и }1.\\\\\nе)\\ \\frac{a}{b}+c\\text{ — сумма частного }\\frac{a}{b}\\text{ и }c.\\\\\nж)\\ ab+bc\\text{ — сумма произведений }ab\\text{ и }bc.\\\\\nз)\\ (a-b)(a+b)\\text{ — произведение разности и суммы.}\\\\\n\n\\textbf{56.}\\ a)\\ b+c;\\ \\б)\\ a-m;\\ \\в)\\ x^2;\\ \\г)\\ y^3;\\ \\д)\\ x+ab;\\ \\е)\\ m-\\frac{x}{y};\\ \\ж)\\ (a+b)c;\\ \\з)\\ a(x+y).\\\\\n\n\\textbf{57.}\\ a)\\ \\frac{18}{5y+2}:\\ 5y+2\\ne0\\Rightarrow y\\ne-\\frac25.\\\\\nб)\\ \\frac{1}{y}:\\ y\\ne0.\\\\\nв)\\ \\frac{m-1}{x-7}:\\ x\\ne7.\\\\\nг)\\ \\frac{7a}{4}:\\ \\text{всегда определено.}\\\\\nд)\\ \\frac{2b}{3+a}:\\ a\\ne-3.\\\\\nе)\\ \\frac{14}{10-b}:\\ b\\ne10.\\\\\n\n\\textbf{58.}\\ \\frac{14}{a^2+1}\\ \\text{определено при любом }a.\\\\\n\n\\textbf{59.}\\ 5n;\\ 10n;\\ 101n.\\\\\n\n\\textbf{60.}\\ 7n;\\ \\text{например }105,\\ 112.\\\\\n\n\\textbf{61.}\\ p\\ge5\\text{ простое }\\Rightarrow p\\equiv1\\text{ или }5\\pmod6\\Rightarrow p\\pm1\\equiv0\\pmod6.\\\\\n\n\\textbf{62.}\\ 0.03x=1.8\\Rightarrow x=60;\\ 0.85x=17\\Rightarrow x=20;\\ 1.3x=3.9\\Rightarrow x=3;\\ 0.062x=9.3\\Rightarrow x=150.\\\\\n\n\\textbf{63.}\\ 0.7x=14\\Rightarrow x=20.", "steps": [ "55: заменить запись на словесное описание через «сумма/разность/произведение/частное».", "56: перевести словесные формулировки в алгебраические выражения.", "57: требовать ненулевой знаменатель (и только это).", "58: выбрать знаменатель, который никогда не равен нулю: a^2+1.", "59–60: кратное k записывается как k·n (n — целое).", "61: простые p≥5 не делятся на 2 и 3 ⇒ p≡1 или 5 (mod 6).", "62–63: проценты перевести в десятичную дробь и решить уравнение вида px = a." ] }, "detailed": { "html": "

55. Прочитайте выражение (термины: сумма, разность, произведение, частное)

• а) mx — произведение чисел m и x.
• б) 10+ab — сумма числа 10 и произведения чисел a и b.
• в) (a+5)x — произведение суммы чисел a и 5 и числа x.
• г) m−8a — разность числа m и произведения чисел 8 и a.
• д) 2x+1 — сумма произведения чисел 2 и x и числа 1.
• е) a/b + c — сумма частного чисел a и b и числа c.
• ж) ab+bc — сумма произведения a и b и произведения b и c.
• з) (a−b)(a+b) — произведение разности чисел a и b и суммы чисел a и b.

56. Запишите в виде выражения

• а) сумма чисел b и c: b+c
• б) разность чисел a и m: a−m
• в) квадрат числа x: x²
• г) куб числа y: y³
• д) сумма числа x и произведения a и b: x+ab
• е) разность числа m и частного x и y: m−x/y
• ж) произведение суммы a и b и числа c: (a+b)c
• з) произведение числа a и суммы x и y: a(x+y)

57. При каких значениях переменной выражение имеет смысл

Правило: дробь определена, если её знаменатель не равен нулю.

• а) 18/(5y+2): 5y+2≠0 ⇒ y≠−2/5.
• б) 1/y: y≠0.
• в) (m−1)/(x−7): x−7≠0 ⇒ x≠7 (m — любое).
• г) 7a/4: знаменатель 4≠0 ⇒ ограничений нет (любое a).
• д) 2b/(3+a): 3+a≠0 ⇒ a≠−3 (b — любое).
• е) 14/(10−b): 10−b≠0 ⇒ b≠10.

58. Какое выражение имеет смысл при любом a

Сравним знаменатели: a² может быть 0 (при a=0), a²−1 может быть 0 (при a=±1), а a²+1 всегда ≥1, значит никогда не равен 0.

Ответ: 14/(a²+1).

59. Формула числа, кратного заданному

Число кратно k, если оно равно k·n, где n — целое.

• а) кратного 5: 5n
• б) кратного 10: 10n
• в) кратного 101: 101n

60. Формула числа, кратного 7, и два трёхзначных примера

Формула: 7n, где n — целое.

Чтобы получить трёхзначные, берём n так, чтобы 7n было от 100 до 999. Например:

• n=15 ⇒ 7·15=105
• n=16 ⇒ 7·16=112

61. Доказательство: простое число p≥5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6

Пусть p — простое и p≥5. Тогда p не делится на 2 и не делится на 3.

Любое целое число при делении на 6 даёт остаток 0,1,2,3,4 или 5. Остатки 0,2,4 соответствуют чётным числам (делятся на 2), остаток 3 соответствует числам, делящимся на 3. Значит для простого p≥5 остаются только остатки 1 или 5.

Если p≡1 (mod 6), то p−1 делится на 6. Если p≡5 (mod 6), то p+1 делится на 6. Что и требовалось.

62. Найдите число по процентам

Если p% числа равны a, то (p/100)·x=a.

• а) 3%: 0,03x=1,8 ⇒ x=1,8/0,03=60.
• б) 85%: 0,85x=17 ⇒ x=17/0,85=20.
• в) 130%: 1,3x=3,9 ⇒ x=3,9/1,3=3.
• г) 6,2%: 0,062x=9,3 ⇒ x=9,3/0,062=150.

63. Было молока в бидоне

Отлили 30%, значит осталось 70%.

0,7x=14 ⇒ x=14/0,7=20 (л).

", "latex": "\\textbf{55. Прочитайте выражение.}\\\\\nа)\\ mx\\text{ — произведение }m\\text{ и }x.\\\\\nб)\\ 10+ab\\text{ — сумма }10\\text{ и произведения }ab.\\\\\nв)\\ (a+5)x\\text{ — произведение суммы }(a+5)\\text{ и }x.\\\\\nг)\\ m-8a\\text{ — разность }m\\text{ и произведения }8a.\\\\\nд)\\ 2x+1\\text{ — сумма }2x\\text{ и }1.\\\\\nе)\\ \\frac{a}{b}+c\\text{ — сумма частного }\\frac{a}{b}\\text{ и }c.\\\\\nж)\\ ab+bc\\text{ — сумма произведений }ab\\text{ и }bc.\\\\\nз)\\ (a-b)(a+b)\\text{ — произведение разности }(a-b)\\text{ и суммы }(a+b).\\\\\n\n\\textbf{56.}\\\\\nа)\\ b+c;\\quad\nб)\\ a-m;\\quad\nв)\\ x^2;\\quad\nг)\\ y^3;\\quad\nд)\\ x+ab;\\quad\nе)\\ m-\\frac{x}{y};\\quad\nж)\\ (a+b)c;\\quad\nз)\\ a(x+y).\\\\\n\n\\textbf{57. Область допустимых значений.}\\\\\n\\text{Дробь определена, если знаменатель }\\ne0.\\\\\nа)\\ \\frac{18}{5y+2}:\\ 5y+2\\ne0\\Rightarrow y\\ne-\\frac25.\\\\\nб)\\ \\frac{1}{y}:\\ y\\ne0.\\\\\nв)\\ \\frac{m-1}{x-7}:\\ x-7\\ne0\\Rightarrow x\\ne7.\\\\\nг)\\ \\frac{7a}{4}:\\ 4\\ne0\\Rightarrow a\\in\\mathbb R.\\\\\nд)\\ \\frac{2b}{3+a}:\\ 3+a\\ne0\\Rightarrow a\\ne-3.\\\\\nе)\\ \\frac{14}{10-b}:\\ 10-b\\ne0\\Rightarrow b\\ne10.\\\\\n\n\\textbf{58.}\\\\\n\\frac{14}{a^2}\\ \\text{не определено при }a=0;\\quad\n\\frac{14}{a^2-1}\\ \\text{не определено при }a=\\pm1;\\quad\n\\frac{14}{a^2+1}\\ \\text{определено при любом }a,\\ \\text{так как }a^2+1\\ge1.\\\\\n\n\\textbf{59.}\\\\\n\\text{Кратное }k:\\ k\\cdot n,\\ n\\in\\mathbb Z.\\\\\nа)\\ 5n;\\quad б)\\ 10n;\\quad в)\\ 101n.\\\\\n\n\\textbf{60.}\\\\\n7n,\\ n\\in\\mathbb Z.\\ \\text{Например: }7\\cdot15=105,\\ 7\\cdot16=112.\\\\\n\n\\textbf{61.}\\\\\n\\text{Пусть }p\\ge5\\text{ — простое. Тогда }p\\not\\equiv0\\pmod2\\text{ и }p\\not\\equiv0\\pmod3.\\\\\n\\text{Остатки по модулю }6:\\ 0,1,2,3,4,5.\\\\\n0,2,4\\Rightarrow \\text{делится на }2;\\quad 3\\Rightarrow \\text{делится на }3.\\\\\n\\Rightarrow p\\equiv1\\text{ или }5\\pmod6.\\\\\n\\text{Если }p\\equiv1\\pmod6,\\text{ то }p-1\\equiv0\\pmod6.\\\\\n\\text{Если }p\\equiv5\\pmod6,\\text{ то }p+1\\equiv0\\pmod6.\\\\\n\n\\textbf{62.}\\\\\nа)\\ 0.03x=1.8\\Rightarrow x=\\frac{1.8}{0.03}=60.\\\\\nб)\\ 0.85x=17\\Rightarrow x=\\frac{17}{0.85}=20.\\\\\nв)\\ 1.3x=3.9\\Rightarrow x=\\frac{3.9}{1.3}=3.\\\\\nг)\\ 0.062x=9.3\\Rightarrow x=\\frac{9.3}{0.062}=150.\\\\\n\n\\textbf{63.}\\\\\n\\text{Осталось }70\\%:\\ 0.7x=14\\Rightarrow x=\\frac{14}{0.7}=20\\ \\text{л}.", "steps": [ "55: для каждого выражения определить главную операцию (сумма/разность/произведение/частное) и проговорить словами.", "56: ключевые слова: «сумма» → +, «разность» → −, «произведение» → ·, «частное» → дробь, «квадрат/куб» → степень 2/3.", "57: выписать знаменатель и потребовать, чтобы он не был равен нулю.", "58: проверить, может ли знаменатель обратиться в ноль; выбрать тот, который всегда положителен: a^2+1.", "59–60: использовать определение кратности: число = k·n, где n — целое; подобрать n для трёхзначных.", "61: рассмотреть остатки по модулю 6; исключить те, что дают делимость на 2 или 3; остаются 1 и 5.", "62: составить уравнение (p/100)x=a и найти x делением.", "63: после отливания 30% осталось 70%: 0,7x=14." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителей (как объяснять)

1. Чтение выражений (№55): ищем, что «главнее» — плюс/минус или умножение/деление. Например, (a+5)x — это произведение, где первый множитель — сумма a и 5.
2. Перевод текста в формулу (№56): слова-подсказки: сумма → +, разность → −, произведение → ·, частное → дробь, квадрат/куб → степень.
3. Когда выражение определено (№57–58): нельзя делить на ноль. Поэтому выписываем знаменатель и требуем «знаменатель ≠ 0». В №58 выбираем знаменатель, который никогда не бывает 0: a²+1.
4. Кратные числа (№59–60): «кратно k» значит «равно k·n», где n — целое. Для трёхзначных подбираем n так, чтобы результат был от 100 до 999.
5. Свойство простых (№61): простое p≥5 не делится на 2 и 3, значит при делении на 6 остаток может быть только 1 или 5; тогда p−1 или p+1 делится на 6.
6. Проценты (№62–63): p% = p/100. Составляем уравнение (p/100)·x = данное число и решаем делением.

Ответы: №62: 60; 20; 3; 150. №63: 20 л.

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителей.}\\\\\n1)\\ \\textbf{№55:}\\ \\text{читаем по главной операции: }+,-\\text{ (сумма/разность), }\\cdot\\text{ (произведение), }/\\text{ (частное).}\\\\\n2)\\ \\textbf{№56:}\\ \\text{сумма}\\to +,\\ \\text{разность}\\to -,\\ \\text{произведение}\\to\\cdot,\\ \\text{частное}\\to\\frac{\\ }{\\ },\\ \\text{квадрат/куб}\\to x^2,y^3.\\\\\n3)\\ \\textbf{№57–58:}\\ \\text{делить на ноль нельзя: знаменатель }\\ne0.\\ \\text{В №58 }a^2+1\\ge1\\Rightarrow\\text{всегда определено.}\\\\\n4)\\ \\textbf{№59–60:}\\ \\text{кратно }k\\Rightarrow k\\cdot n,\\ n\\in\\mathbb Z.\\ \\text{Примеры для 7: }105,112.\\\\\n5)\\ \\textbf{№61:}\\ p\\ge5\\text{ простое }\\Rightarrow p\\not\\equiv0\\pmod2,\\ p\\not\\equiv0\\pmod3\\Rightarrow p\\equiv1\\text{ или }5\\pmod6\\Rightarrow p\\pm1\\equiv0\\pmod6.\\\\\n6)\\ \\textbf{№62–63:}\\ p\\%=(p/100).\\ (p/100)x=a\\Rightarrow x=a\\div(p/100).\\ \\text{Ответы: }60,20,3,150;\\ 20\\text{ л}." }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX-пак (готово для вставки)

\\textbf{55.}\n\\begin{align*}\n&\\text{а) }mx\\text{ — произведение }m\\text{ и }x;\\\\\n&\\text{б) }10+ab\\text{ — сумма }10\\text{ и произведения }ab;\\\\\n&\\text{в) }(a+5)x\\text{ — произведение суммы }(a+5)\\text{ и }x;\\\\\n&\\text{г) }m-8a\\text{ — разность }m\\text{ и произведения }8a;\\\\\n&\\text{д) }2x+1\\text{ — сумма }2x\\text{ и }1;\\\\\n&\\text{е) }\\frac{a}{b}+c\\text{ — сумма частного }\\frac{a}{b}\\text{ и }c;\\\\\n&\\text{ж) }ab+bc\\text{ — сумма произведений }ab\\text{ и }bc;\\\\\n&\\text{з) }(a-b)(a+b)\\text{ — произведение }(a-b)\\text{ и }(a+b).\n\\end{align*}\n\n\\textbf{56.}\\quad a)\\ b+c;\\ b)\\ a-m;\\ c)\\ x^2;\\ d)\\ y^3;\\ e)\\ x+ab;\\ f)\\ m-\\frac{x}{y};\\ g)\\ (a+b)c;\\ h)\\ a(x+y). \n\n\\textbf{57.}\n\\begin{align*}\n&\\text{а) }\\frac{18}{5y+2}:\\ y\\ne-\\frac25;\\\\\n&\\text{б) }\\frac{1}{y}:\\ y\\ne0;\\\\\n&\\text{в) }\\frac{m-1}{x-7}:\\ x\\ne7;\\\\\n&\\text{г) }\\frac{7a}{4}:\\ a\\in\\mathbb R;\\\\\n&\\text{д) }\\frac{2b}{3+a}:\\ a\\ne-3;\\\\\n&\\text{е) }\\frac{14}{10-b}:\\ b\\ne10.\n\\end{align*}\n\n\\textbf{58.}\\quad \\frac{14}{a^2+1}\\ \\text{(определено при любом }a\\text{).}\n\n\\textbf{59.}\\quad 5n;\\ 10n;\\ 101n\\ (n\\in\\mathbb Z).\n\n\\textbf{60.}\\quad 7n\\ (n\\in\\mathbb Z),\\ \\text{например }105,\\ 112.\n\n\\textbf{61.}\\quad p\\ge5\\text{ простое }\\Rightarrow p\\equiv1\\text{ или }5\\pmod6\\Rightarrow p\\pm1\\equiv0\\pmod6.\n\n\\textbf{62.}\\quad x=60;\\ 20;\\ 3;\\ 150.\n\n\\textbf{63.}\\quad 0.7x=14\\Rightarrow x=20\\text{ л}.

", "latex": "\\textbf{55.}\n\\begin{align*}\n&\\text{а) }mx\\text{ — произведение }m\\text{ и }x;\\\\\n&\\text{б) }10+ab\\text{ — сумма }10\\text{ и произведения }ab;\\\\\n&\\text{в) }(a+5)x\\text{ — произведение суммы }(a+5)\\text{ и }x;\\\\\n&\\text{г) }m-8a\\text{ — разность }m\\text{ и произведения }8a;\\\\\n&\\text{д) }2x+1\\text{ — сумма }2x\\text{ и }1;\\\\\n&\\text{е) }\\frac{a}{b}+c\\text{ — сумма частного }\\frac{a}{b}\\text{ и }c;\\\\\n&\\text{ж) }ab+bc\\text{ — сумма произведений }ab\\text{ и }bc;\\\\\n&\\text{з) }(a-b)(a+b)\\text{ — произведение }(a-b)\\text{ и }(a+b).\n\\end{align*}\n\n\\textbf{56.}\\quad a)\\ b+c;\\ b)\\ a-m;\\ c)\\ x^2;\\ d)\\ y^3;\\ e)\\ x+ab;\\ f)\\ m-\\frac{x}{y};\\ g)\\ (a+b)c;\\ h)\\ a(x+y). \n\n\\textbf{57.}\n\\begin{align*}\n&\\text{а) }\\frac{18}{5y+2}:\\ y\\ne-\\frac25;\\\\\n&\\text{б) }\\frac{1}{y}:\\ y\\ne0;\\\\\n&\\text{в) }\\frac{m-1}{x-7}:\\ x\\ne7;\\\\\n&\\text{г) }\\frac{7a}{4}:\\ a\\in\\mathbb R;\\\\\n&\\text{д) }\\frac{2b}{3+a}:\\ a\\ne-3;\\\\\n&\\text{е) }\\frac{14}{10-b}:\\ b\\ne10.\n\\end{align*}\n\n\\textbf{58.}\\quad \\frac{14}{a^2+1}\\ \\text{(определено при любом }a\\text{).}\n\n\\textbf{59.}\\quad 5n;\\ 10n;\\ 101n\\ (n\\in\\mathbb Z).\n\n\\textbf{60.}\\quad 7n\\ (n\\in\\mathbb Z),\\ \\text{например }105,\\ 112.\n\n\\textbf{61.}\\quad p\\ge5\\text{ простое }\\Rightarrow p\\equiv1\\text{ или }5\\pmod6\\Rightarrow p\\pm1\\equiv0\\pmod6.\n\n\\textbf{62.}\\quad x=60;\\ 20;\\ 3;\\ 150.\n\n\\textbf{63.}\\quad 0.7x=14\\Rightarrow x=20\\text{ л}." } } ```