Решение задачи 63 — Математика Макарычев Миндюк Нешков 7 класс

```json { "short": { "html": "

Дано: функция y = x(6-x), область определения: -1 \\le x \\le 5.

\n

Таблица значений (для построения графика):

\n\n\n\n

x	-1	0	1	2	3	4	5
y	-7	0	5	8	9	8	5

\n

Отметьте точки: (-1; -7), (0; 0), (1; 5), (2; 8), (3; 9), (4; 8), (5; 5) и соедините их плавной линией. Получится ветвь параболы на отрезке [-1;5].

", "latex": "y=x(6-x),\\quad -1\\le x\\le 5.\n\n\\begin{array}{c|rrrrrrr}\nx&-1&0&1&2&3&4&5\\\\\\hline\ny&-7&0&5&8&9&8&5\n\\end{array}\n\nТочки: (-1,-7),(0,0),(1,5),(2,8),(3,9),(4,8),(5,5).", "steps": [ "Составить таблицу значений для x от −1 до 5.", "Вычислить y = x(6 − x) для каждого x.", "Нанести полученные точки на координатную плоскость.", "Соединить точки плавной линией (получится парабола на заданном промежутке)." ] }, "detailed": { "html": "

Функция: y = x(6-x), область определения: -1 \\le x \\le 5.

\n

Удобно раскрыть скобки: y = 6x - x^2. Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви направлены вниз (так как коэффициент при x^2 равен -1).

\n\n

1) Таблица значений

\n\n\n\n

x	-1	0	1	2	3	4	5
y = x(6-x)	-1·7 = -7	0	1·5 = 5	2·4 = 8	3·3 = 9	4·2 = 8	5·1 = 5

\n\n

2) Наносим точки: (-1; -7), (0; 0), (1; 5), (2; 8), (3; 9), (4; 8), (5; 5).

\n\n

3) Соединяем плавной линией. Получаем часть параболы на отрезке [-1;5].

\n\n

Полезные свойства по графику:

\n

\n
• Нули функции: из формулы x(6-x)=0 получаем x=0 и x=6, но в нашем промежутке виден только x=0.
\n
• Вершина: для y=6x-x^2 вершина при x=\\frac{6}{2}=3, тогда y(3)=9. Это максимальное значение на данном промежутке.
\n
• Симметрия относительно прямой x=3: значения при x=2 и x=4 равны, при x=1 и x=5 тоже равны.
\n

", "latex": "y=x(6-x)=6x-x^2,\\quad -1\\le x\\le 5.\n\n\\text{Составим таблицу:}\n\\[\n\\begin{array}{c|rrrrrrr}\nx&-1&0&1&2&3&4&5\\\\\\hline\ny=x(6-x)&-7&0&5&8&9&8&5\n\\end{array}\n\\]\n\n\\text{Наносим точки }(-1,-7),(0,0),(1,5),(2,8),(3,9),(4,8),(5,5)\\text{ и соединяем плавной линией.}\n\n\\text{Так как }y=6x-x^2\\text{ — парабола с ветвями вниз, вершина: }x=\\frac{6}{2}=3,\\ y(3)=9.", "steps": [ "Преобразовать: y = x(6 − x) = 6x − x^2 (понимаем, что это парабола, ветви вниз).", "Выбрать несколько значений x на отрезке [−1; 5] (например, целые).", "Для каждого x вычислить y = x(6 − x) и заполнить таблицу.", "Построить на плоскости точки из таблицы.", "Соединить точки плавной линией, получив график на заданном промежутке.", "Отметить вершину (3; 9) как максимум на этом промежутке и ось симметрии x = 3." ] }, "parent_guide": { "html": "

Памятка для родителя

\n

Ребёнку нужно построить график функции y=x(6-x) на промежутке [-1;5].

\n

\n
1. Скажите, что удобнее подставлять в формулу несколько значений x (обычно целые) и считать y.
\n
2. Проверьте вычисления по таблице: при x=3 должно получиться y=9 (это самая высокая точка на рисунке).
\n
3. Пусть ребёнок аккуратно нанесёт точки и соединит их плавно, не ломаной.
\n
4. Обратите внимание на симметрию: точки при x=2 и x=4 имеют одинаковый y, так же как при x=1 и x=5. Это помогает самопроверке.
\n

\n

Готовые точки: (-1; -7), (0; 0), (1; 5), (2; 8), (3; 9), (4; 8), (5; 5).

", "latex": "\\textbf{Памятка для родителя.}\n\n\\text{Нужно построить график }y=x(6-x)\\text{ на }[-1;5].\n\\begin{enumerate}\n\\item \\text{Подставляем несколько значений }x\\text{ (удобно целые) и считаем }y.\n\\item \\text{Контроль: при }x=3\\text{ получаем }y=9\\text{ (максимум на рисунке).}\n\\item \\text{Наносим точки и соединяем плавной линией.}\n\\item \\text{Самопроверка по симметрии относительно }x=3:\\ y(2)=y(4),\\ y(1)=y(5).\n\\end{enumerate}\n\n\\text{Точки: }(-1,-7),(0,0),(1,5),(2,8),(3,9),(4,8),(5,5)." }, "latex_pack": { "html": "

LaTeX-пакет (готовый блок для вставки)

\n

\\[\n y=x(6-x),\\quad -1\\le x\\le 5.\n\\]\n\\[\n\\begin{array}{c|rrrrrrr}\n x&-1&0&1&2&3&4&5\\\\\\hline\n y&-7&0&5&8&9&8&5\n\\end{array}\n\\]\nТочки: \\((-1,-7),(0,0),(1,5),(2,8),(3,9),(4,8),(5,5)\\).\n

", "latex": "\\[\n y=x(6-x),\\quad -1\\le x\\le 5.\n\\]\n\\[\n\\begin{array}{c|rrrrrrr}\n x&-1&0&1&2&3&4&5\\\\\\hline\n y&-7&0&5&8&9&8&5\n\\end{array}\n\\]\n\\text{Точки: }(-1,-7),(0,0),(1,5),(2,8),(3,9),(4,8),(5,5)." } } ```