Подробное решение с пошаговыми объяснениями и формулами
279. Купил x карандашей по 10 р.: потратил 10x р. Осталось
y = 80 − 10x.
По смыслу задачи: x — целое, x ≥ 0, и денег не может стать меньше нуля: 80 − 10x ≥ 0 ⇒ x ≤ 8.
Область определения: x ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}.
280. Пусть шестиклассники собрали a книг, тогда семиклассники — 1.1a. Итого: a + 1.1a = 2.1a = 315 ⇒ a = 150. Тогда семиклассники: 1.1·150 = 165.
Ответ: семиклассники — 165 книг, шестиклассники — 150 книг.
Проценты: 150/315 = 47.619…% (≈47.6%), 165/315 = 52.381…% (≈52.4%).
281. Прямая через M(0;−4) и N(6;2): угловой коэффициент k = (2−(−4))/(6−0)=1, значит y = x − 4. На оси x: y=0 ⇒ x=4.
Точка пересечения: (4; 0).
282. Середина отрезка: ((−2+4)/2; (−3+5)/2) = (1; 1).
", "latex": "\\textbf{279. } y=80-10x,\\quad x\\in\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\\}.\\\\\n\\textbf{280. } a+1.1a=315\\Rightarrow 2.1a=315\\Rightarrow a=150,\\; 1.1a=165.\\\\\n\\text{Проценты: }\\frac{150}{315}\\approx47.6\\%,\\;\\frac{165}{315}\\approx52.4\\%.\\\\\n\\textbf{281. } k=\\frac{2-(-4)}{6-0}=1,\\; y=x-4,\\; y=0\\Rightarrow x=4\\Rightarrow (4,0).\\\\\n\\textbf{282. } \\left(\\frac{-2+4}{2},\\frac{-3+5}{2}\\right)=(1,1).", "steps": [ "279: Потратил 10x, осталось y=80−10x; x — целое от 0 до 8.", "280: Пусть 6-кл = a, 7-кл = 1.1a; 2.1a=315 ⇒ a=150, 7-кл=165; доли ≈47.6% и ≈52.4%.", "281: Найти уравнение прямой через M и N: y=x−4; при y=0 получаем x=4.", "282: Середина: ((xA+xB)/2,(yA+yB)/2)=(1,1)." ] }, "detailed": { "html": "Было 80 р. Купил x карандашей по 10 р. за штуку.
Область определения по условию:
Итак, x ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}.
Всего собрали 315 книг. Семиклассники собрали на 10% больше, чем шестиклассники.
Обозначим количество книг шестиклассников через a. Тогда семиклассники собрали
a + 10% от a = a + 0.1a = 1.1a.
Составим уравнение по сумме:
a + 1.1a = 315 ⇒ 2.1a = 315 ⇒ a = 315 / 2.1 = 150.
Тогда семиклассники: 1.1·150 = 165.
Проценты для круговой диаграммы:
Для круговой диаграммы можно также указать углы: 47.619%·360° ≈ 171.43°, 52.381%·360° ≈ 188.57°.
Даны точки M(0; −4) и N(6; 2). Найдём, где отрезок пересекает ось x (то есть где y=0).
Найдём угловой коэффициент прямой MN:
k = (2 − (−4)) / (6 − 0) = 6/6 = 1.
Уравнение прямой через точку M(0;−4):
y = x − 4 (потому что при x=0 получаем y=−4).
Пересечение с осью x: 0 = x − 4 ⇒ x = 4.
Ответ: точка пересечения — (4; 0). Она лежит между 0 и 6, значит принадлежит отрезку.
Даны точки A(−2; −3) и B(4; 5). Координаты середины отрезка:
xср = (−2 + 4)/2 = 1,
yср = (−3 + 5)/2 = 1.
Ответ: середина — (1; 1).
", "latex": "\\section*{279}\n\\text{Потрачено: }10x.\\quad \\text{Осталось: }y=80-10x.\n\\\\\n\\text{По условию }x\\in\\mathbb Z,\\ x\\ge 0,\\ 80-10x\\ge 0\\Rightarrow x\\le 8.\n\\\\\n\\boxed{\\,D=\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\\}\\,}\n\n\\section*{280}\n\\text{Пусть шестиклассники собрали }a\\text{ книг. Тогда семиклассники: }1.1a.\n\\\\\n a+1.1a=315\\Rightarrow 2.1a=315\\Rightarrow a=\\frac{315}{2.1}=150.\n\\\\\n\\text{Семиклассники: }1.1\\cdot 150=165.\n\\\\\n\\text{Доли: }\\frac{150}{315}=\\frac{10}{21}\\approx 47.619\\%,\\quad \\frac{165}{315}=\\frac{11}{21}\\approx 52.381\\%.\n\\\\\n\\text{Углы диаграммы: }\\frac{10}{21}\\cdot 360^\\circ\\approx 171.43^\\circ,\\ \\frac{11}{21}\\cdot 360^\\circ\\approx 188.57^\\circ.\n\n\\section*{281}\nM(0,-4),\\ N(6,2).\\quad k=\\frac{2-(-4)}{6-0}=1.\n\\\\\n\\text{Прямая: }y=x-4.\\quad y=0\\Rightarrow x=4.\n\\\\\n\\boxed{(4,0)}\n\n\\section*{282}\n\\text{Середина: }\\left(\\frac{x_A+x_B}{2},\\frac{y_A+y_B}{2}\\right)=\\left(\\frac{-2+4}{2},\\frac{-3+5}{2}\\right)=(1,1).\n\\\\\n\\boxed{(1,1)}", "steps": [ "279: Выразить остаток денег: y=80−10x.", "279: Учесть ограничения: x — целое, x≥0, 80−10x≥0 ⇒ x≤8.", "280: Обозначить 6-классников a, 7-классников 1.1a; составить уравнение a+1.1a=315.", "280: Решить: a=150, 7-классники=165; найти проценты (и при желании углы).", "281: Найти наклон k=1, записать y=x−4; при y=0 получить x=4.", "282: Применить формулу середины: ((−2+4)/2,(−3+5)/2)=(1,1)." ] }, "parent_guide": { "html": "Памятка для родителя
\\subsection*{279}\nПотрачено: $10x$. Осталось: $y=80-10x$.\nПо условию $x\\in\\mathbb Z$, $x\\ge 0$, и $80-10x\\ge 0\\Rightarrow x\\le 8$.\nСледовательно, $D=\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\\}$.\n\n\\subsection*{280}\nПусть шестиклассники собрали $a$ книг, тогда семиклассники --- $1.1a$.\n$a+1.1a=315\\Rightarrow 2.1a=315\\Rightarrow a=150$.\nСемиклассники: $1.1\\cdot150=165$.\nДоли: $\\frac{150}{315}=\\frac{10}{21}\\approx47.6\\%$, $\\frac{165}{315}=\\frac{11}{21}\\approx52.4\\%$.\n\n\\subsection*{281}\n$M(0,-4)$, $N(6,2)$. $k=\\frac{2-(-4)}{6-0}=1$, значит $y=x-4$.\nПри $y=0$ получаем $x=4$. Точка пересечения: $(4,0)$.\n\n\\subsection*{282}\nСередина: $\\left(\\frac{-2+4}{2},\\frac{-3+5}{2}\\right)=(1,1)$.",
"latex": "\\subsection*{279}\n\\text{Потрачено: }10x.\\quad \\text{Осталось: }y=80-10x.\n\\\\\n\\text{По условию }x\\in\\mathbb Z,\\ x\\ge 0,\\ 80-10x\\ge 0\\Rightarrow x\\le 8.\n\\\\\nD=\\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\\}.\n\n\\subsection*{280}\n\\text{Пусть шестиклассники собрали }a\\text{ книг, тогда семиклассники --- }1.1a.\n\\\\\n a+1.1a=315\\Rightarrow 2.1a=315\\Rightarrow a=150.\n\\\\\n\\text{Семиклассники: }1.1\\cdot150=165.\n\\\\\n\\text{Доли: }\\frac{150}{315}=\\frac{10}{21}\\approx47.6\\%,\\quad \\frac{165}{315}=\\frac{11}{21}\\approx52.4\\%.\n\n\\subsection*{281}\nM(0,-4),\\ N(6,2).\\quad k=\\frac{2-(-4)}{6-0}=1,\\ \\Rightarrow\\ y=x-4.\n\\\\\n y=0\\Rightarrow x=4.\\quad (4,0).\n\n\\subsection*{282}\n\\left(\\frac{-2+4}{2},\\frac{-3+5}{2}\\right)=(1,1)."
}
}
```